Неприводимые представления группы Лоренца

[Metford]

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, прояснить несколько вопросов в связи с представлениями группы Лоренца.

1. Я так понимаю, что неприводимые представления группы Лоренца в общем случае могут оказаться приводимыми по отношению к группе трёхмерных вращений. В теории поля это позволяет определить, грубо говоря, в каком представлении какие спины "заложены". И есть утверждение вроде теоремы о сложении моментов, которое позволяет перечислить спины, заложенные в данном представлении. Как всё это формально получить? Или, по крайней мере, где об этом понятно написано и для физиков? Именно понятно, потому как что-то не удаётся мне пробиться через книги, написанные для математиков

2. Если характеризовать представление двумя числами $(j_1,j_2)$ - вроде бы это стандартное обозначение - то оно неэквивалентно представлению $(j_2,j_1)$ (я не беру сейчас случай $j_1=j_2$). Но связь между этими двумя представлениями есть - вот она от меня ускользает. Я нашёл нечто по этому поводу, но не знаю, насколько это вообще имеет отношение к правде. Воспроизводить пока не буду: диковато выглядит. Отдалённо смахивает на то, что написано в книге Гельфанда, Минлоса, Шапиро, но с существенными отличиями - по крайней мере, я это так воспринимаю. Вообще, в этой книге очень непривычные обозначения в отношении представлений группы Лоренца, поэтому при всей полноте воспринимать тяжело (вот про группу вращений читается очень легко).

3. Везде говорится, что по представлению $(1/2,0)\oplus(0,1/2)$ преобразуется лоренцевский 4-вектор. Причём, как правило, в качестве аргумента приводится тот факт, что преобразующаяся по этому представлению величина имеет четыре компоненты. А можно явно убедиться в том, что это, действительно, 4-вектор? Закон преобразования явный получить? Или это очевидно? (За этот вопрос заранее извиняюсь: пока мало его продумывал всерьёз - но решил в перечень добавить).

Не удивлюсь, если где-то это более или менее компактно и просто освещено, но прошло мимо меня Вопрос специально не стал задавать в математической части форума: испугался тех ответов, которые там могли бы дать

[svv]

Знаете ли Вы о такой книге?: Федоров. Группа Лоренца.
Я её не читал и не знаю, поможет ли она Вам, но на всякий случай обращаю внимание.

[Metford]

svv, я не только знаю о ней, она у меня просто есть в бумажном виде (к сожалению, у меня её сейчас под рукой нет). Она при многих достоинствах имеет два недостатка: 1. там местами используются обозначения ещё более изощрённые, чем у Гельфанда, Минлоса и Шапиро; 2. изложение тоже довольно сильно формализованное.

К слову замечу, что у Фёдорова есть в книге интересная деталь (для меня, по крайней мере). Он использует с большим успехом т.н. вектор-параметр при описании группы вращений. В двух словах смысл такой. С бесконечно малыми вращениями связаны антисимметрические матрицы. Такой матрице можно сопоставить дуальный вектор в трёхмерном же пространстве - вот им Фёдоров и пользуется. Выглядит любопытно. Но это в том числе затрудняет чтение из-за непривычности.

В любом случае спасибо, что напомнили про эту книгу. Видимо, если никто больше ничего не посоветует, придётся продираться через неё.

[svv]

Metford в сообщении #1140060 писал(а):

Такой матрице можно сопоставить дуальный вектор в трёхмерном же пространстве - вот им Фёдоров и пользуется.

А, понятно. Он направлен по оси вращения. Как угловая скорость.

[amon]

Если еще не видели, гляньте
Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц
вдруг понравится.

[Metford]

amon, про эту книгу слышал, но читать не доводилось. Заглянул в содержание, выглядит многообещающе, спасибо! Я предполагал, что кто-нибудь из физиков написал об этом понятно для своих собратьев - только не знал, кто. Ну, а после этого уже можно будет и что-то более формализованное почитать.

[espe]

Metford в сообщении #1139942 писал(а):

Помогите, пожалуйста, прояснить несколько вопросов в связи с представлениями группы Лоренца.

Где про это прочитать, я не знаю. Но если ничего не путаю, то ответы такие:

1. Представление $(j_1,j_2)$ содержит спины от $|j_1-j_2|$ до $j_1+j_2$ через 1, каждый спин содержится один раз.

2. Представление $(j_1,j_2)$ комплексно сопряжено $(j_2,j_1)$ и при пространственных отражениях переходят друг в друга.

3. То, что у Вас написано --- это дираковский спинор (вроде бы). То, что преобразуется как вектор --- это $(1/2,1/2)$.

[Metford]

espe, да, я ошибся со спинором. У меня тут немного понимания прибавилось - уразумел, что в третьем пункте написал глупость. Но всё равно спасибо, что поправили!

Что касается первого вопроса, то ответ мне известен, но мне интересно, как это получается. Хотя бы на физическом уровне строгости.

А вот со вторым вопросом хотелось бы деталей. Ну, например, мне встречалось сделанное Вами утверждение про комплексно сопряжённое представление (уже не говоря о том, что мне известна мотивировка введения биспинора). Но как-то ускользает точный смысл. Надо понимать это так, что если некоторый набор матриц (для простоты матриц) образует представление $(j_1,j_2)$, то эти же матрицы, но комплексно сопряжённые, образуют представление $(j_2,j_1)$? Мне казалось, что там как-то хитрее устроено...

[Metford]

В общем, покопался я книгах в трёх-четырёх, кое-что прояснилось. Напишу результаты "изысканий" - мало кому-то будет полезно.

1. Самым простым на мой взгляд оказался такой подход. Представление $(j_1,j_2)$ раскладывается в прямое произведение $(j_1,0)\otimes(0,j_2)$ - в этом несложно убедиться. А то, что эти сомножители представляют собой фактически неприводимые представления группы вращений - практически очевидно. Дальше работает обычное разложение Клебша-Гордана - и ответ готов.

2. Тут достаточно ответа espe. Всё встало на свои места, когда уточнился факт, что комплексно сопряжённые представление задаётся комплексно сопряжёнными матрицами в комплексно сопряжённом же базисе - вот это я упустил из виду сначала. Всё хорошо видно на конкретном примере представлений $(1/2,0)$ и $(0,1/2)$.

3. В первом сообщении я, конечно, перепутал представление. 4-вектор преобразуется по представлению $(1/2,1/2)$. Это, действительно, довольно-таки понятно становится и естественно выглядеть начинает (когда в детали вникнешь...). Но можно и формально показать эту связь. Можно установить взаимно однозначное соответствие между каноническим базисом в пространстве представления $(1/2,1/2)$ и базисом, обычно используемым при работе с векторами, $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ и $(0,0,0,1)$. Соответствие устанавливается рассмотрением результата умножения матриц генераторов группы Лоренца на эти векторы (на соответствующие столбцы точнее). Генераторы удобнее всего выбирать те, в которых алгебра группы Лоренца явно распадается на две алгебры группы вращений.

Теперь более или менее прояснилось. Спасибо всем, кто принял участие! Могу сказать, что все ответы так или иначе пригодились.

[Nirowulf]

Metford
Могу посоветовать ещё одну превосходную книгу, написанную как раз для физиков: Румер Ю. Б., Фет А. И. "Теория групп и квантованные поля".

[Metford]

Nirowulf, спасибо! Эту книгу я знаю, но она меня больше привлекает изложением скорее физической, чем математической стороны дела. Я, наверное, человек очень привередливый: слишком придирчиво отношусь к подбору литературы Хотя это, как правило, оправдывает себя.

[Nirowulf]

Metford
Ещё есть вот такая статья известного математика М. А. Наймарка. Тоже ориентированна на физиков, возможно, вам понравится.

[Metford]

Nirowulf, насколько я понимаю, эта статья впоследствии превратилась в книгу с одноимённым названием. Она была дополнена некоторым сведениями о группе вращений - для полноты, как говорится. И по-моему там не обошлось без дополнений и про группу Лоренца. Я из этой книги кое-что почерпнул для себя, мне она в принципе понравилась - Вы правы. И за ссылку спасибо, исходную статью видеть не доводилось.

[amon]

Ещё такая книжка есть (для продвинутых пользователей):
Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы.
А для начинающих - Румер Ю.Б. Спинорный анализ [ОНТИ, 1936] (она проще всего того, что тот же автор написал после того)

[Metford]

По-моему половину этой темы спокойно можно перемещать в тему с рекомендуемой литературой. Давайте уж и я тогда добавлю, что у тех же вышеупомянутых Ю.Б. Румера и А.И. Фета есть "Теория унитарной симметрии". На мой взгляд книга вполне хорошая, но это уже не о группе Лоренца.

amon, эта книга мне известна. Что касается спинорного анализа - то до этого я ещё, кажется, не дозрел. Пробовал заглядывать по этому поводу в статью Рашевского (которую не так давно в виде книги переиздали). Но он сразу начинает с алгебры Клиффорда, чего я пока что совершенно не знаю, к сожалению. А самое плохое, что я даже не знаю, насколько мне это нужно знать - или можно обойтись. Можно, конечно, ознакомиться из интереса к чистой математике...

(Оффтоп)

amon в сообщении #1141148 писал(а):

она проще всего того, что тот же автор написал после того

А что не так стало после? И что такое это "после"?