Оценка суммы функций Мебиуса

[Math_er]

Доброго времени суток.
Появилась необходимость в оценке суммы следующего вида:

$$\sum_{\substack{d|n \\ d\leqslant x}}\mu(d),$$

где $x=n^{\alpha}$.
Кто-нибудь встречал что-то похожее? Можно ли говорить хотя бы о знаке суммы при достаточно больших $n$?
Спасибо.

[Sonic86]

$\alpha\in(0;1)$? $\alpha<\frac{1}{2}$? При $\alpha=1$ сумма сворачивается в $[n=1]$.
Можно подобрать достаточно большое $M$ такое, что для подпоследовательности $n=k^M$ сумма будет содержать все ненулевые слагаемые и, таким образом, будет равна нулю.
Для $n=p$ простых сумма будет равна 1.
Для чисел вида $n=(p_1...p_{2k})^M$ можно получить значение $-1$ (т.е. подобрать разложение так, чтобы последнее ненулевое слагаемое не попадало в интервал $[1;n^{\alpha}]$).
Так что со знаком все плохо.
А оценка модуля наверное типа $O(\sqrt{\ln n})$ (говорю от балды - попробуйте эмпирически оценить ее и хз как доказывать). Т.е. понятно, что $|S|\leqslant \max\limits_x\left|\sum\limits_{d|n, d\leqslant x}\mu(n)\right|$, последняя сумма содержит всего $2^k$ слагаемых, сумма которых равна 0 при $n>1$; и вроде как эта оценка не очень слабая.

[Math_er]

Sonic86 С модулем суммы всё понятно... Хотелось бы получить что-то типа неотрицательности для всех достаточно больших $n$, не имеющих простых делителей, меньших $\log\log\log n$.

$\alpha\leqslant 1/2.$

[Sonic86]

Math_er в сообщении #1138854 писал(а):

Хотелось бы получить что-то типа неотрицательности для всех достаточно больших $n$, не имеющих простых делителей, меньших $\log\log\log n$.

Ну увы.
$\ln_3n$ - это как-то совсем мало, чтобы повлиять на поведение суммы в целом. $2^{C\ln_3 n}=\ln_2^D n$, что сколь угодно меньше, чем $\sqrt{\ln n}$.

Math_er в сообщении #1138854 писал(а):

$\alpha\leqslant 1/2.$

Сначала спросил, а уже потом в конце дошло, что этот показатель, похоже, роли вообще не играет

Sonic86 в сообщении #1138797 писал(а):

А оценка модуля наверное типа $O(\sqrt{\ln n})$ (говорю от балды - попробуйте эмпирически оценить ее и хз как доказывать). Т.е. понятно, что $|S|\leqslant \max\limits_x\left|\sum\limits_{d|n, d\leqslant x}\mu(n)\right|$, последняя сумма содержит всего $2^k$ слагаемых, сумма которых равна 0 при $n>1$; и вроде как эта оценка не очень слабая.

Вспомнил пример: берем $n=p_1...p_k$, где $p_1 \approx ... \approx p_k$, но все $p_j>>1$. Тогда $1<p_j < p_i p_j<...<p_1...p_k$ и тогда размах $\max\limits_x\left|\sum\limits_{d|n, d\leqslant x}\mu(n)\right|=\left|\sum\limits_{j=0}^{k/2}(-1)^j\binom{k}{j}\right|\leqslant 2^{k-1}$ (это при $x=p_k...p_{k/2}$), а т.к. известно, что $k=O(\ln _2n)$, то оценка как раз получается не меньше, чем $O(\ln^\beta n)$ для какого-то $\beta$. Можно еще снизу оценить как $\binom{k}{k/2}$, но лень, т.к. основной характер будет тот же (корень в знаменателе добавится и все)

Если время будет, я посчитаю, но на меня не надейтесь - у меня времени мало.

[Math_er]

Sonic86
А если в этой сумме приделать веса (скажем, помножить на функцию $F(d)$), можно ли указать какое-нибудь достаточное условие (на функцию) неотрицательности суммы ? Если бы не было ограничение на величину делителя, то сразу напрашивается потребовать мультипликативность $F$. Тогда достаточно представить сумму в виде произведения, чтобы увидеть нужное условие.
А вот как быть в данном случае.. Интуитивно кажется, что достаточно потребовать быстрого убывания. Например, если взять $F(d)=\frac{1}{d!}$, то, вроде как, отрицательность от функции мебиуса в соответствующем слагаемом будет незначительно уменьшать сумму (по крайней мере, для больших $d$).

[Sonic86]

Math_er в сообщении #1139484 писал(а):

Интуитивно кажется, что достаточно потребовать быстрого убывания. Например, если взять $F(d)=\frac{1}{d!}$, то, вроде как, отрицательность от функции мебиуса в соответствующем слагаемом будет незначительно уменьшать сумму (по крайней мере, для больших $d$).

Да это формально очевидно: $(\forall x)\sum\limits_{d|n,d\leqslant x}\frac{\mu(d)}{d!}>3-e>0$.

[Math_er]

Sonic86 Вы говорите про модуль суммы? Что модуль такой суммы больше нуля - почти очевидно. Меня же интересует неотрицательность такой суммы без модуля.

[Sonic86]

Math_er в сообщении #1139612 писал(а):

Sonic86 Вы говорите про модуль суммы? Что модуль такой суммы больше нуля - почти очевидно. Меня же интересует неотрицательность такой суммы без модуля.

Прошу прощенья, меня глючит. Модуль не нужен - оценка без модуля. Модуль стер.
Я отделял единицу, а потом в оставшемся ряде заменял числитель на $-1$.

[Math_er]

Sonic86 Спасибо.

[Math_er]

Нашел ответ на исходный вопрос: существует целая гипотеза Эрдёша, которая утверждает, что для любого $\varepsilon>0$ и почти всех (в смысле асимптотической плотности) натуральных $n$ выполняется оценка:

$$\max_{z\leqslant n}\left\lvert\sum_{\substack{d|n \\ d\leqslant z}}\mu(d)\right\lvert \leqslant (1+\varepsilon)^{\omega(n)}, $$

Последний безусловный результат принадлежит Тененбауму, которых доказал аналог гипотезы c заменой единицы на $\displaystyle\left(\frac{3}{e}\right)^{\frac{\log 2}{\log 3}}\approx 1,06.$
Поразительно, что результат основан на исследовании оценок для функции Хооли

$$\Delta(n)=\max_{z\leqslant n}\sum_{\substack{d|n \\ d\leqslant z}}1,$$

которая возникает после грубой оценки $\mu(d)\leqslant 1$.