Диофантово уравнение со степенями

[maxal]

Профессор Снэйп писал(а):

2) Найти все целочисленные решения неравенства $x^y < y^x$.

Это фактически классика на исследование функции $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$.

[main777]

maxal в сообщении #97514 писал(а):

juna писал(а):

Хочу предложить еще одну задачу на степенные диофантовы уравнения.

Доказать, что диофантово уравнение $2^y-5^x=3$ имеет решение только при $x=1,y=3$ или $x=3,y=7$.

Это легко показать, рассмотрев данное уравнение, например, по модулю 768.
А вообще подобные задачи уже обсуждали здесь и здесь.

Степени двойки по mod 768: 2,4,8,16,32,64,128,[256,512],256,…
Степени 5 по mod 768: [5, 25,125,625,53,265,557,481,101,505,221,337,149,745,653,193,197,217,317,49,245,457,749,
673,293,697,413,529,341,169,77,385,389,409,509,241,437,649,173,97,485,121,605,721,533,361,269,577,581,601,701,
433,629,73,365,289,677,313,29,145,725,553,461,1],5,25,…
Берем для степени двойки остаток 512, а для степени 5 берем 509; значит левая и правая части
уравнения $2^y-5^x=3$ по mod 768 могут давать одинаковые остатки; 768 не подходит

[maxal]

main777 -- да, ошибка ручного счёта. Правильный модуль (посчитанный на компе) тут:
post616660.html#p616660