Уравнение Максвелла.

[ihanapov]

Добрый день. Начал разбирать уравнения Максвелла. Не въехал только в одно, а именно $\nabla \times H = \frac{4 \pi}{c} j + \frac{1}{c}\frac{\partial D}{\partial t}$. Дословно ротор напряженности магнитного поля есть сумма плотности тока и скорости изменения электрической индукции. При изменении вектора $\vec{D}$ вокруг него появляется векторное поле $\vec{H}$. Как мне кажется, тут описан закон магнито-электрической индукции. Я прав? Почему есть коэффициент 1/с перед слагаемыми в правой части? Объясните пожалуста.

[DimaM]

ihanapov в сообщении #1139304 писал(а):

Как мне кажется, тут описан закон магнито-электрической индукции. Я прав?

Трудно сказать, поскольку словосочетание "магнито-электрическая индукция", как минимум, не является общепринятым.
Скорее, это теорема о циркуляции (иногда называемая теоремой Стокса) в дифференциальной форме с учетом тока смещения (второе слагаемое в правой части).

[arseniiv]

ihanapov в сообщении #1139304 писал(а):

Почему есть коэффициент 1/с перед слагаемыми в правой части?

Из-за выбора системы единиц. Есть несколько систем единиц, включающих электромагнитные. В них уравнения электродинамики (в частности, уравнения Максвелла) могут выглядеть немного по-разному. Но в любом случае, если только в такой системе единиц не $c=1$ (и скорости безразмерны), множитель $c$ или $1/c$, будучи убран в одном месте в одной формуле, вылезет где-то в другой (вместе с переопределением каких-то единиц измерения).

[Munin]

Суть, конечно, не в этом коэффициенте. Суть в нескольких коэффициентах, вместе взятых. Вот смотрите:
СИ:

$\nabla\times\mathbf{E}=-\underline{1}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}+\underline{\varepsilon_0\mu_0}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$

СГС Гаусса (симметричная):

$\nabla\times\mathbf{E}=-\underline{\dfrac{1}{c}}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla\times\mathbf{B}=\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\underline{\dfrac{1}{c}}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$

СГСЭ:

$\nabla\times\mathbf{E}=-\underline{1}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla\times\mathbf{B}=\dfrac{4\pi}{c^2}\mathbf{j}+\underline{\dfrac{1}{c^2}}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$

СГСМ:

$\nabla\times\mathbf{E}=-\underline{1}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla\times\mathbf{B}=4\pi\mathbf{j}+\underline{\dfrac{1}{c^2}}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$

(СГС Хевисайда (тоже симметричная, малоизвестная):

$\nabla\times\mathbf{E}=-\underline{\dfrac{1}{c}}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla\times\mathbf{B}=\dfrac{1}{c}\mathbf{j}+\underline{\dfrac{1}{c}}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ )

А именно, произведение двух подчёркнутых коэффициентов в обоих уравнениях Максвелла должно равняться $1/c^2.$ Это нужно, чтобы электромагнитные волны, распространяющиеся благодаря обоим этим уравнениям, распространялись бы со скоростью $c$ в вакууме. (В системе СИ $\varepsilon_0\mu_0=1/c^2$ по определению; некоторые пишут уравнение так, а некоторые - иначе.)

Если это условие выполнено, то физическая корректность уравнений достигнута. Остальное распределение коэффициентов задаёт всего лишь соотношение единиц измерения между электрическими и магнитными полями. В системе Гаусса оно выбрано таким, чтобы в свободной электромагнитной волне было бы $|\mathbf{E}|=|\mathbf{B}|,$ что отражает теоретическую симметрию между этими полями. В СГСЭ и СГСМ выбор другой, что обусловлено техническими и историческими выборами единиц измерения этих полей. А в системе СИ эти поля выражаются даже разными размерностями и единицами, так что формально они попросту несравнимы. СИ - уродец, порождённый попытками испортить СГС ещё хуже, чем она была в своих худших вариантах (СГСЭ и СГСМ).

[AnatolyBa]

Член $\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ введен чтобы уравнения Максвелла были совместимы с законом сохранения заряда $\nabla \mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$. Отсюда и коэффициент

[Munin]

Не верится.

Допустим, мы совсем вычёркиваем источники из уравнений Максвелла. Ваш аргумент исчезает, а коэффициент остаётся.

Допустим, мы меняем масштаб единиц только $\mathbf{j},$ а все остальные единицы оставляем на месте. Тогда з.с.з. меняется, и коэффициент перед $\mathbf{j}$ в уравнении Максвелла меняется, а коэффициент перед током смещения остаётся.

[AnatolyBa]

Ну, возможны разные подходы. Я здесь придерживаюсь консервативного, как это делается в так называемой общей физике (не теоретической). Подход такой - начинаем с экспериментально установленных законов - Кулона, Био-.., Фарадея, отсутствия магнитных зарядов. Отсюда записываем уравнения Максвелла без токов смещения. Обнаруживаем, что в таком виде уравнения не совместимы с законом сохранения заряда. Добавляем ток смещения, чтобы спасти ЗСЗ. Только после этого обнаруживаем решение в виде волны, распространяющейся со скоростью света и только после этого делаем вывод об электромагнитной природе света.
Ваш подход предполагает, что мы знаем заранее о волновом решении и о том что свет электромагнитная волна.
Мне кажется консервативный (и более историчный) подход лучше для первоначального изучения.

Munin в сообщении #1139445 писал(а):

Допустим, мы меняем масштаб единиц только $\mathbf{j},$ а все остальные единицы оставляем на месте

А как же $\rho$ ? Как можно изменить масштаб для $\mathbf{j}$ не меняя $\rho$?

[rustot]

AnatolyBa в сообщении #1139453 писал(а):

А как же $\rho$ ? Как можно изменить масштаб для $\mathbf{j}$ не меняя $\rho$?

$\vec{j} = \vec{j_1} + \vec{j_2} = \vec{j_1} + \frac{\partial}{\partial t}\vec{P}$

у самого $\vec{P}$ уже единицы измерения не поменяешь и лишних коэффициентов не приделаешь, а вот с каким коэффициентом $\vec{P}$ будет входить в сумму $\vec{D} = k_1 \vec{E} + k_2 \vec{P}$ - это уже поменять можно, а от этого зависит и какой коэффициент будет при $\vec{D}$ в уравнении максвелла

[AnatolyBa]

Если мы выбрали единицы для заряда так, что в вакууме $\nabla \mathbf{E}=4 \pi \rho $ и если мы хотим, чтобы в среде $\nabla \mathbf{D} = 4 \pi \rho_{stor}$, то какой произвол остается в коэффициенте при $\mathbf{P}$ в выражении для $\mathbf{D}$?
Если мы меняем форму уравнения для $\mathbf{D}$, то тогда, конечно, коэффициенты изменятся, но зачем?

[rustot]

AnatolyBa в сообщении #1139455 писал(а):

Если мы выбрали единицы для заряда так, что в вакууме $\nabla \mathbf{E}=4 \pi \rho $ и если мы хотим, чтобы в среде $\nabla \mathbf{D} = 4 \pi \rho_{stor}$

А почему мы хотим именно так? Никаких объективных причин выбирать именно такое $\vec{D}$ чтобы в вакууме было $\vec{D}=\vec{E}$ у нас нет. В си используется $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}$ для вакуума

А вот извлеченная из $\vec{D}$ поляризация $\vec{P}$ - вот та всегда сойдется с $\vec{j}$ в любой системе единиц, потому-что она именно так, через "количество заряда которое", $\vec{j_P} = \frac{\partial}{\partial t}\vec{P}$ и определена

В СГС

$\frac{4\pi}{c}\vec{j} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{D} = \frac{4\pi}{c}(\vec{j} + \frac{\partial}{\partial t}\vec{P}) + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{E}$

В СИ

$\vec{j} + \frac{\partial}{\partial t}\vec{D} = (\vec{j} + \frac{\partial}{\partial t}\vec{P}) + \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \vec{E}$

так что для сохранения заряда достаточно было бы учитывать только $\vec{P}$, учитывать целиком $\vec{D}$ для одного только сохранения заряда нужды нет

$\nabla\times\vec{H} = \frac{4\pi}{c}(\vec{j}+\frac{\partial}{\partial t}\vec{P})$ учитывает весь заряд, но не является уравнением максвелла

[Metford]

AnatolyBa в сообщении #1139453 писал(а):

Ну, возможны разные подходы. Я здесь придерживаюсь консервативного, как это делается в так называемой общей физике (не теоретической). Подход такой - начинаем с экспериментально установленных законов - Кулона, Био-.., Фарадея, отсутствия магнитных зарядов. Отсюда записываем уравнения Максвелла без токов смещения. Обнаруживаем, что в таком виде уравнения не совместимы с законом сохранения заряда. Добавляем ток смещения, чтобы спасти ЗСЗ. Только после этого обнаруживаем решение в виде волны, распространяющейся со скоростью света и только после этого делаем вывод об электромагнитной природе света.

Исторически первым, видимо, был подход Munin. В работе Максвелла "Динамическая теория электромагнитного поля" читаем:

Цитата:

Величины, с которыми мы до сих пор имели дело, были выражены в терминах электромагнитной системы мер, основанной на механическом взаимодействии токов. Электростатическая система мер, основанная на механическом взаимодействии наэлектризованных тел, является независимой системой, не совпадающей с электромагнитной. Таким образом, единицы различных величин имеют различное значение в зависимости от той системы, которую мы принимаем, и для того чтобы перейти от одной системы к другой, необходимо соответствующий перевод всех величин.

Согласно электростатической системе отталкивание между двумя небольшими телами, заряженными количествами электричества $\eta_1$ и $\eta_2$, будет $\frac{\eta_1\eta_2}{r^2}$, где $r$ - расстояние между телами.

Пусть отношение двух систем будет таново, что одна электромагнитная единица электричества содержит $v$ электростатических единиц; тогда $\eta_1=ve_1$ и $\eta_2=ve_2$, и величина отталкивания приобретает вид

$$v^2\frac{e_1e_2}{r^2}=\frac{k}{4\pi}\frac{e_1e_2}{r^2}$$

согласно уравнению (44)). Отсюда $k$ — коэффициент «электрической упругости» среды, в которой производятся опыты (т. е. в обычном воздухе), — связан с $v$ — числом электростатических единиц в одной электромагнитной единице согласно уравнению

$$k=4\pi v^2.$$

Величина $v$ может быть определена экспериментально несколькими способами. Согласно опытам Вебера и Кольрауша

$$v=310740000\text{ метров в секунду.}$$

Цитата по изданию "Избранные сочинения по теории электромагнитного поля", ГИТТЛ, 1952

А уж "игрища" с $\varepsilon_0$ и $\mu_0$ - это уже, как говорится, позднейшее наслоение (не слишком удачное на мой взгляд).

[AnatolyBa]

Если мы в линейной среде положим $\mathbf{D} = k_1 \mathbf{E}$ и $\nabla \mathbf{D} = 4 \pi k_2 \rho$, то ЗСЗ диктует $\nabla \times H = \frac{4 \pi}{c} j + \frac{1}{k_2}\frac{1}{c}\frac{\partial D}{\partial t}$ и уравнения без источников дают волну со скоростью $c\sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ (если ничего не перепутал). Скорость не равна $c$, что естественно для среды. Т. е. мы можем вывести, а не постулировать скорость распространения волны в среде, как это и положено.

Metford
Прошу прощения первоисточник не читал. А это точно, что Максвелл уже здесь связывал скорость света с тем, что

Metford в сообщении #1139458 писал(а):

одна электромагнитная единица электричества содержит $v$ электростатических единиц

Ведь ранее он пишет:

Metford в сообщении #1139458 писал(а):

Величины, с которыми мы до сих пор имели дело, были выражены в терминах электромагнитной системы мер, основанной на механическом взаимодействии токов

И давайте изменим в моем сообщении слово историчный на псевдо-историчный. Т. е. я не знаю точно, как оно там было на самом деле. Но такой подход - от экспериментов к неточным уравнениям а от них к обобщению - кажется логичным для первоначального изучения

[Metford]

AnatolyBa в сообщении #1139465 писал(а):

А это точно, что Максвелл уже здесь связывал скорость света с тем, что
Metford в сообщении #1139458

писал(а):
одна электромагнитная единица электричества содержит $v$ электростатических единиц
Ведь ранее он пишет:
Metford в сообщении #1139458

писал(а):
Величины, с которыми мы до сих пор имели дело, были выражены в терминах электромагнитной системы мер, основанной на механическом взаимодействии токов

В цитате, которую я привёл, есть отсылка к уравнению (44) - я уж не стал к нему ещё цитату приводить, но смысл сводится к следующему. Максвелл на основе одного из уравнений ныне имени его получил уравнение, в которое вместе с магнитными величинами входит электрический потенциал. В конечном счёте он приходит (в другом параграфе) к силе электростатического взаимодействия, но уже в других единицах, так как изначально он исходил из теории "с магнитными величинами". В той теории за основу введения единиц измерения принимается сила взаимодействия токов - по закону Ампера.
Так получается сила электростатического взаимодействия, выраженная с одной стороны ещё по закону Кулона (где произвол в размерности вносит зарядами), а с другой стороны - вот таким окольным путём от закона Ампера. А связь этих выражений устанавливается на основе опытов Кольрауша-Вебера. В дальнейшем измеренная ими величина оказывается скоростью света - так она и проникает в уравнения Максвелла. Насколько я понимаю, исторически так было.

AnatolyBa в сообщении #1139465 писал(а):

Т. е. я не знаю точно, как оно там было на самом деле. Но такой подход - от экспериментов к неточным уравнениям а от них к обобщению - кажется логичным для первоначального изучения

В общем, да, логично. Если бы сразу знать, как оно устроено... Но исследование от этого много потеряет.

[svv]

Metford в сообщении #1139458 писал(а):

Исторически первым, видимо, был подход Munin.

Боюсь даже подумать, сколько ему (Muniny) лет.

[Munin]

AnatolyBa
Да, согласен с закономерностью вашего подхода. Я поторопился.

По поводу истории члена "тока смещения" есть статья Шапиро в УФН об истории уравнений Максвелла. Найдите ссылку сами, плиз, мне сейчас некогда...