Пивные торги

[Sirion]

У студента Пети случился день рождения. По этому поводу бармен Вася готов бесплатно налить ему некоторый объём пива, который с равной вероятностью может быть любым от 0 до 1 литра. Сам он, однако, этот объём не назовёт. У Пети есть 10 попыток, чтобы угадать, насколько щедр сегодня Вася. Если объём, названный Петей, больше объёма, с которым готов расстаться Вася, то Вася молчаливо выразит своё несогласие, и Петя может предлагать следующий вариант (при условии, что у него остались попытки). Если же названный объём меньше или равен тому, на который Вася согласен, то Петя немедленно получает в подарок тот объём, который назвал, и не может предлагать другие варианты. Если у Пети заканчиваются попытки, он не получает ничего.

Какова оптимальная стратегия Пети и чему равняется матожидание количества халявного пива при этой стратегии?

[TOTAL]

Sirion в сообщении #1138782 писал(а):

У Пети есть десять попыток.

Что такое попытка? Вася участвует в каждой попытке? Как? Петя получает пиво в каждой удачной попытке?

[Sirion]

TOTAL в сообщении #1138784 писал(а):

Sirion в сообщении #1138782 писал(а):

У Пети есть десять попыток.

Что такое попытка? Вася участвует в каждой попытке? Как? Петя получает пиво в каждой удачной попытке?

Петя получает пиво, как только впервые называет объём, устраивающий Васю. Если Петя десять раз назвал объём, не устраивающий Васю, он не получает ничего.

Поправил условие, надеюсь, стало понятнее.

[worm2]

Представляет интерес также формулировка, когда Петя после удачной попытки продолжает играть на повышение и получает в конце максимум из названных чисел, не превысивших лимит.

[Sirion]

worm2 в сообщении #1138790 писал(а):

Представляет интерес также формулировка, когда Петя после удачной попытки продолжает играть на повышение и получает в конце максимум из названных чисел, не превысивших лимит.

Да, в такой формулировке, наверное, будет ещё интереснее. В моей ответ скучный.

[worm2]

Ну, раз ответ скучный, значит, наверное, равномерное должно быть $10/11$, $9/11$, $\dots$, $1/11$.
Это я решил для 2-х и 3-х попыток и экстраполировал

[Sirion]

worm2 в сообщении #1138800 писал(а):

Ну, раз ответ скучный, значит, наверное, равномерное должно быть $10/11$, $9/11$, $\dots$, $1/11$.
Это я решил для 2-х и 3-х попыток и экстраполировал

Да, ответ такой) Обосновать его чуть поинтереснее.

[TOTAL]

Зеленый график - это то, что получает Петя в зависимости от того, что задумал Вася. Здесь у Пети четыре попытки. Синяя площадь под графиком - это матожидание пива для Пети. Для максимизации ожиданий Пети надо минимизировать красную площадь. Очевидно как.

[Sergic Primazon]

Пусть $f_n(a)-$ матожидание при оптимальной стратегии, когда всего $a$ литров пива и Петя $n $ раз может угадывать.

Тогда : $f_n(a)=max \left( \frac{a-x}{a} \cdot x +\frac{x}{a}\cdot f_{n-1}(x)\right)$

$f_1(a)=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot a$ ; $x_1=\frac{a}{2}$

$f_2(a)=\frac{2}{2\cdot 3}\cdot a$ ; $x_1=\frac{2}{3}a$ , $ x_2=\frac{1}{3}a$

$\cdots$

$f_n(a)=\frac{n}{2\cdot (n+1)}\cdot a$ ; $x_1=\frac{n}{n+1}a$ , $ x_2=\frac{n-1}{n+1}a$ , $ . . . $ , $ x_n=\frac{1}{n+1}a$

[Sirion]

TOTAL в сообщении #1138961 писал(а):

Зеленый график - это то, что получает Петя в зависимости от того, что задумал Вася. Здесь у Пети четыре попытки. Синяя площадь под графиком - это матожидание пива для Пети. Для максимизации ожиданий Пети надо минимизировать красную площадь. Очевидно как.

Чёрт, изящно. А я с индукциями заморачивался.

[Sergic Primazon]

worm2 в сообщении #1138790 писал(а):

Представляет интерес также формулировка, когда Петя после удачной попытки продолжает играть на повышение и получает в конце максимум из названных чисел, не превысивших лимит.

Так же , если $f_n (a) $ - матожидание при оптимальной стратегии, когда у нас $a $ литров пива и $n $ попыток.

Тогда : $ f_n (a) = \frac {x}{a} \cdot f_{n-1}(x) +\frac {a-x}{a} \cdot (x+f_{n-1}(a-x) )$$

$ f_n (a)=(\frac {1}{2}-\frac {1}{2^{n+1}}) \cdot a $

Делим каждый раз отрезок , на котором находится предполагаемое количество пива , пополам.