Дискретная математика.

[NL0]

1) Решите диафантово уравнение с ненулевыми коэффициентами $(2a+1)x+(2a-1)y=2$ имеющее решение $(x_0,y_0)$, где $y_0=40$. Найдите всевозможные значения $a$ и докажите, что других нет.

Первая мысль: "нужно подобрать $x_0$ таким образом, чтобы независимо от $a$ уравнение имело решение $(x_0,40)$."

Однако не выходит. Если $x_0=-40$, то хоть $a$ и сокращается, но выходит абсурдное $-2=2$.

Вторая мысль: Возьмем $x_0$ и выразим как функцию от $a$.

$(2a+1)x_0+40(2a-1)=2$

$x_0=\dfrac{2-40(2a-1)}{2a+1}=\dfrac{42-80a}{2a+1}$

Отсюда следует, что за $x_0$ нужно взять некоторое четное число.

Но из каких соображений его подбирать. Ясно, что это все сведется к алгоритму евклида, но как именно, пока не понимаю.

2) Найдите всевозможные многочлены $P(x)$, такие что $-2(x^3-1)P(x)+(x^4-1)P'(x)=(x-1)(x^2-1)$, не используя интегралы.

Слева стоит многочлен третьей степени, значит справа тоже нужно сделать многочлен третьей степени.

Есть мысль просто в явном виде подставить в уравнение $P(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{m}a_nx^n$ и методом неопределенных коэффициентов, но от этой идеи отказался ввиду того, что громоздко очень.

Думаю ввиду того, что многочлен нулевой степени не годится, нужно подобрать многочлен так, чтобы старшие степени слева сократились, то есть $-2x^3P(x)=x^4P'(x)$, то есть $-2P(x)=xP'(x)$, но тут хочется решить диффур, но интегрировать нельзя по условию, как тогда быть?

[DeBill]

NL0 в сообщении #1139078 писал(а):

Вторая мысль

хороша. Только что ж Вы затормозили? Разделите Вашу дробь "уголком"....

NL0 в сообщении #1139078 писал(а):

Слева

В смысле - справа?

NL0 в сообщении #1139078 писал(а):

Есть мысль

Да нормально, че пугаться то. Слева - есть мономы минимум четвертой степени. Значит, они сократятся. Отсюда найдете степень Вашего $P$...

-- 21.07.2016, 02:08 --

ДиОфантово - значит, к-ты целые. Но, может, $a$ не целое?

[NL0]

$x_0=\dfrac{42-80a}{2a+1}=\dfrac{82}{2a+1}-40$

Тогда выходит, что $2a+1=41$, значит $a=20$ или $a=0$ или $a=0,5$ (других вариантов быть не может) и далее алгоритм евклида, верно?

[Mihr]

NL0 в сообщении #1139089 писал(а):

далее алгоритм евклида, верно?

А зачем? Подставьте $a=20$ в исходное уравнение и моментально увидите "опорное" решение. Без алгоритма Евклида.

[DeBill]

NL0
А отрицательные?

[Mihr]

Можно ещё для каждого $a$ за "опорное" решение взять уже известное. То самое, в котором $y=40$. В общем, без алгоритма Евклида вполне можно обойтись.

[NL0]

DeBill в сообщении #1139093 писал(а):

NL0
А отрицательные?

Точно, про них забыл. Ну ок, при $a=20$, например, будет $x_0=-38$

Тогда общее решение должно выглядеть так:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=& -38+\dfrac{n\cdot (2a-1)}{\operatorname{gcd}(2a-1,2a+1)} \\ y&=&40-\dfrac{n\cdot (2a+1)}{\operatorname{gcd}(2a-1,2a+1)} \\ \end{array} \right.$$

Но нужно тогда найти $\operatorname{gcd}(2a-1,2a+1)$

Мы знаем, что два нечетных числа отличаются на два, нужно найти их наибольший общий делитель. Проблемка...

Пока не очевидно...

-- 21.07.2016, 02:38 --

Есть ли смысл рассматривать те отрицательные, если мы ищем какое-то начальное решение, далее нужно будет искать общее. Вот с этим общим как раз проблема.

[DeBill]

NL0 в сообщении #1139097 писал(а):

Проблемка...

Как это? Нечетное, и 2 - не имеют общих делителей....

[NL0]

DeBill в сообщении #1139098 писал(а):

NL0 в сообщении #1139097 писал(а):

Проблемка...

Как это? Нечетное, и 2 - не имеют общих делителей....

Да, не спорю)) Там я немного по другое, что числа отличаются на два.

[DeBill]

Не, что-то Вы усложняете... Целое число $2a+1$ есть делитель 82. Выпишем все делители - и найдем все возможные $a$.
Затем, для каждого конкретного $a$ из Вашей формулы найдем $x_0$. Зная одно решение $(x_0,y_0)$, немедленно найдем общее решение....


-- 21.07.2016, 02:48 --

NL0 в сообщении #1139101 писал(а):

числа отличаются на два.

-- 21.07.2016, 02:46 --

Полезная в хозяйстве весчь - "медленный алгоритм Евклида": $gcd(x,y) = gcd(x-y,y)$

[NL0]

Спасибо, завтра разберусь уже=)

[NL0]

Спасибо, действительно, все просто получается, у нас просто шесть значений параметра, при каждом из которых известно начальное решение (или опорное, как правильно?).

DeBill в сообщении #1139087 писал(а):

Да нормально, че пугаться то. Слева - есть мономы минимум четвертой степени. Значит, они сократятся. Отсюда найдете степень Вашего $P$...

Меня терзают смутные сомнения, кажется, что старшая степень -- это $1$. Но ведь, если взять $P(x)=ax^2+bx+c$, то уже можно подбирать $a$ так, чтобы сократились пятые степени, а $b$, чтобы сократились $4$ степени. Аналогично можно продолжать увеличивать старшую степень неизвестного многочлена.

[ewert]

NL0 в сообщении #1139297 писал(а):

если взять $P(x)=ax^2+bx+c$, то уже можно подбирать $a$ так, чтобы сократились пятые степени

Нет, вот как раз подбором именно старшего коэффициента сокращения не добиться. Именно из этого и следует, чему должна равняться степень $P(x)$.

Ну а дальше -- тупо раскрываем скобки.