Числа, не делящиеся ни на одну из своих цифр

[Ktina]

Каждое из $n$ последовательных натуральных чисел не делится ни на одну из своих цифр. При каком наибольшем $n$ это возможно?

Попытка решения:

Если число оканчивается на 1, 2 или 5, то оно делится на свою последнюю цифру.
Таким образом, больше 5 чисел подряд быть не может.
Если же чисел ровно 5, то они должны оканчиваться на 6, 7, 8, 9 и 0 соответственно.
Наименьшая удовлетворяющая условию задачи пятёрка, если не ошибаюсь, - 976, 977, 978, 979, 980.

Осталось лишь доказать, что таких пятёрок бесконечно много.
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[svv]

Если к натуральному числу прибавить $10n$, оно будет оканчиваться той же цифрой, а если прибавить $6\cdot 7\cdot 8\cdot 9n$, оно будет иметь те же остатки от деления на $6,7,8,9$. Так прибавим $6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10n$.

[mihaild]

svv, тут важна не последняя цифра, а все.

Так что давайте прибавлять $999999 \cdot 10^n$ - это число делится на все использованные цифры, а новые разряды будут содержать либо $9$, либо $0$.

[Ktina]

svv
mihaild
Спасибо!

Предлагаю несложный, но довольно красивый пункт б) к этой задаче.

Доказать, что для каждого натурального $n>1$ существует пара $n$ - значных натуральных чисел, отличающихся на 1, меньшее из которых делится на каждую свою десятичную цифру, а большее - ни на одну из своих десятичных цифр.

[mihaild]

$33\ldots 33$ и $33\ldots 34$
(честно говоря, особой красоты не вижу)

[svv]

mihaild в сообщении #1138848 писал(а):

svv, тут важна не последняя цифра, а все.

Сейчас я вообще не понимаю, о чём я думал, когда писал.

[Ktina]

mihaild в сообщении #1138866 писал(а):

$33\ldots 33$ и $33\ldots 34$
(честно говоря, особой красоты не вижу)

А у меня 666...66648 и 666...66649