Определить кривую по трем точкам

[INGELRII]

Возьмем произвольную кривую на плоскости, заданную уравнением $F(x,y)=0$. Пусть эта кривая не имеет никаких симметрий, кроме тождественного преобразования. Теперь возьмем эту кривую, повернем на некий угол $\varphi$ и сдвинем на вектор $(x_0,y_0)$: получим кривую $F(x \cos \varphi - y \sin \varphi + x_0, x \sin \varphi + y \cos \varphi + y_0)=0$. Теперь вопрос: сколько надо задать точек, принадлежащих этой кривой, чтобы однозначно восстановить ее положение на плоскости? Получается, что вроде достаточно всего-то трех, потому что одна заданная точка дает одно уравнение относительно параметров $\varphi, x_0, y_0$. Зададим три точки - получим систему из трех уравнений относительно трех параметров, то есть как раз столько, сколько нужно.

Все верно или не все?

[Someone]

Ну давайте возьмём эллипс, не являющийся окружностью, и повернём его вокруг центра на $90^{\circ}$. Повёрнутый эллипс пересекается с исходным в четырёх точках. По этим четырём точкам никак нельзя определить, какой из двух эллипсов имеется в виду.

[svv]

Допустим, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на кривой. Можно кривую оставить неподвижной, а двигать, наоборот, этот треугольник. Так, по-моему, нагляднее. При каждом значении параметра $t$ у нас будет треугольник $A(t) B(t) C(t)$, конгруэнтный исходному. При этом точка $A(t)$ по правилам игры скользит вдоль кривой, $B(t)$ тоже скользит всегда, когда это возможно (т.е. в большинстве случаев), а вот $C(t)$ будет попадать на кривую только в отдельные моменты (я описываю ситуацию общего положения). Но вот что только однажды — далеко не факт.

[Mihr]

Someone в сообщении #1138813 писал(а):

Ну давайте возьмём эллипс, не являющийся окружностью

Но ведь здесь речь о несимметричных кривых:

INGELRII в сообщении #1138809 писал(а):

Пусть эта кривая не имеет никаких симметрий, кроме тождественного преобразования.

[arseniiv]

Помнём немного эллипс с большим эксцентриситетом около вершины, пересекающейся с большой полуосью — это не должно повлиять на те точки пересечения.

[Mihr]

arseniiv, да, действительно. Что-то не сообразил

[svv]

Да, аналогичное рассуждение применимо и к произвольным кривым. Берём две конгруэнтных несовпадающих кривых. Если они пересекаются в трёх или более точках, восстановление по этим точкам, очевидно, невозможно...

[Mihr]

Кстати, сдвинутая вдоль оси абсцисс синусоида пересекается с исходной в бесконечном множестве точек.
Можно, помимо сдвига, также чуть-чуть повернуть синусоиду - тогда число общих точек двух одинаковых синусоид станет конечным, но при этом может быть как угодно большим.
(Синусоиду тоже можно слегка деформировать в отдельных местах, не содержащих точки пересечения, чтобы обойти условие несимметричности кривой).

[INGELRII]

Блин. Все контрпримеры верны, сам бы мог сообразить.

Тогда где ошибка в рассуждениях?

[Mihr]

Тут, собственно, есть такая тонкость. Если положение кривой заданной формы нельзя восстановить по какому угодно набору из $n$ точек, принадлежащих этой кривой, это ещё не исключает возможность того, что по некоторым (вероятно даже, весьма многим) наборам из $n$ точек её положение восстановить всё-таки можно. То есть, данный набор точек просто не должен быть "вырожденным" в некотором смысле (своём для каждой кривой).

[Anton_Peplov]

Ну так это понятно. Если известно, что $y = A \sin x$, значение $A$ можно восстановить по одной точке $(x, y)$, если $x \ne \pi n$. И невозможно восстановить даже по бесконечному множеству точек, если все они - нули синусоиды.

[INGELRII]

Хм. Возьмем график функции $\sin(1/x)$, там при повороте вокруг начала координат вообще бесконечно много точек пересечения будет. Пока даже не вижу, есть ли там вообще возможность однозначно восстановить положение по конечному набору точек.

Ответьте тогда, пожалуйста, на такой вопрос: эта задача уже кем-нибудь рассматривалась? И решена ли? А то чем больше думаю, тем меньше понимаю, что с ней делать.

[Mihr]

Anton_Peplov, не совсем так. По условию, кривую можно как угодно сдвинуть и повернуть. В этом случае по одной точке Вы не восстановите ни амплитуду синусоиды, ни её положение. Ограничиться лишь синусоидами вида $y = A \sin x$ мы не можем - это противоречит условию задачи ТС.

INGELRII, выскажу своё мнение (возможно, несправедливое). Имхо, вряд ли постановка задачи в столь общем виде может привести к её успешному решению. Одно дело - рассматривать фиксированные классы кривых, другое - кривые какого угодно вида. Возьмём, например, спираль, вьющуюся вокруг фокуса. Чуть пошевелим её (сместим положение фокуса) и получим новое положение, имеющее тем больше общих точек с прежним положением той же спирали, чем меньше величина смещения. Наверняка можно придумать и иные примеры. Это не доказательство чего-либо, а просто основание для сомнения в возможности решить подобную задачу для кривых какого угодно вида.

[Anton_Peplov]

Mihr в сообщении #1138868 писал(а):

это противоречит условию задачи ТС

Sorry, не дочитал условие.

[INGELRII]

Таки нашел ошибку в своих первоначальных рассуждениях. Вот тут:

INGELRII в сообщении #1138809 писал(а):

Зададим три точки - получим систему из трех уравнений относительно трех параметров,

нет ведь никакой гарантии, что решение будет единственным. И, собственно, для целой кучи классов функций $F$ оно гарантированно единственным не будет. Скажем, для алгебраических кривых порядка выше $3$ это сразу очевидно.