Сокращение дифференцирования в подинтегральной функции

[watmann]

Здравствуйте,
есть следующий интеграл:
$\int\limits_{}^{}\frac{n(h)x(h)\frac{dx(h)}{dh}}{\sqrt{x^2(h)+h^2}}dh$
Насколько правомерно сократить $dh$ и $dh$, тем самым превратив интеграл в интеграл по $dx(h)$?
Спасибо)

[bot]

Это стандартный приём, называемый подстановкой или подведением под знак дифференциала.
Если производная записана в виде отношения дифференциалов, то это действительно выглядит как сокращение.

-- Вт июл 19, 2016 12:00:08 --

Только смысла не вижу в такой подстановке, если неизвестна связь между $x$ и $h$.

[Mikhail_K]

watmann в сообщении #1138752 писал(а):

Насколько правомерно сократить $dh$ и $dh$, тем самым превратив интеграл в интеграл по $dx(h)$?

Правомерно. Но это Вам ничего не даст, как верно заметил bot.
Вот если бы интеграл имел, например, такой вид:

$$ \int\frac{(x(h)+1)\frac{dx(h)}{dh}}{\sqrt{x(h)}}dh, $$

то его указанным способом можно было бы привести к виду

$$ \int\frac{x+1}{\sqrt{x}}dx $$

и затем вычислить. То есть приём работает, если в интеграле нет свободных $h$, т.е. все $h$ сидят внутри $x(h)$. В Вашем же интеграле

$$ \int\frac{n(h)x(h)\frac{dx(h)}{dh}}{\sqrt{x^2(h)+h^2}}dh $$

$h$ сидит не только внутри $x(h)$, но и внутри какого-то $n(h)$, а под корнем - в свободном виде. И если Вы будете "сокращать" здесь на $dh$ и тем самым приводить к интегралу по $dx$, то самое хорошее, что у Вас в принципе может получиться (и то если зависимость между $x$ и $h$ взаимно однозначная) - это

$$ \int\frac{n(h(x))x}{\sqrt{x^2+h^2(x)}}dx. $$

Понимаете? Когда Вы будете брать этот интеграл, Вы не можете $h$ считать константой, хотя и берёте интеграл по $x$. Потому что, раз $x$ зависит от $h$, то в этом интеграле, наоборот, $h$ будет зависеть от $x$. И если эта зависимость неизвестна, то дело плохо.

[svv]

watmann
Если все величины под интегралом геометрические (мне так кажется), скажите, каков их смысл, это может помочь.