Выбор оптимального разбиения

[hello19]

Всем привет!

Есть задачка, с которой начал разбираться, но нужна помощь... буду весьма благодарен за любую помощь)

Итак, задача из жизни: у банка есть накопительный счет, с которого можно забрать деньги в любой момент и при этом сохранить заработанные проценты. Так, если средства пролежали на счете 15 дней, с годовой ставкой $q$, то доход в таком случае равен $\dfrac{q}{365}\cdot15$.

Уточнение по поводу начисления процентов: проценты начнут начислять на средства, только если отлежали хотя бы 1 полный день. Так, если средства поступили на вклад 1 числа, то снять с процентами за 1 день можно только 3-го числа. Переоткрыть вклад можно в день закрытия, т.е. в данном примере - 3 числа.

Сам банк выплачивает проценты каждый месяц (например, если дата открытия счета 5 число, то проценты будут добавляться к вкладу каждое 6 число последующих месяцев). Так происходит капитализация процентов.

Возникает вопрос, что выгоднее - ждать месяц пока банк сам выплатит проценты или же можно подобрать такое разбиение года, когда забирать средства с процентами и переоткрывать такой вклад вклад?

Начну формализовывать задачу.
$A$ - исходная сумма вложений
$q$ - годовая процентная ставка
$k_{i}$ - такое расписание закрытий вклада, которое максимизирует общий доход (например каждые 5 день)
$I$ - множество индексов $i$
$\left | I \right |$ - количество элементов в множестве $I$

Попробовал формализовать задачу:
$ A\cdot(1+q\cdot(k_{i}+1))^{\left | I \right |}\rightarrow \begin{matrix} max\\ k_{i}, I \end{matrix}$

$\sum_{i=0}^{\left | I \right |} (k_{i} +1)\leq 365 $

$\forall i k_{i}\geq 0$

Ума не приложу, как решить или вообще с чего начать...

[hello19]

С одной стороны кажется, что за счет "прерываний" доход может снизиться. Но с другой кажется, что "недополученная" выгода может компенсироваться капитализацией.
В случае без прерываний один и тот же доход $\dfrac{q}{365} * A$ начисляется каждый день (хоть и выплачивается лишь в конце месяца). Если же переоткрыть вклад, то та же ставка набегает уже на большую сумму, поскольку при досрочном закрытии проценты не сгорают.

[Евгений Машеров]

Переоткрывание счёта превращает простые проценты в сложные. То есть линейный рост в экспоненциальный. Но процедура переоткрывания сокращает срок начисления процентов на 1 день. Упрощая задачу, откажемся от целочисленности дней, считая время нахождения денег на счету, как и число переоформлений за весь период, непрерывной переменной. Вообще говоря, округлив такое решение до целых, мы можем не получить оптимальное решение, но часто такой приём срабатывает, давая близкое к оптимальному или хотя бы начальную точку для поиска оптимума. Положим, что полный период размещения вклада равен N, а срок до следующего переоформления k. Тогда между переоформлениями вклад вырастет в $(1+\frac {q(k-1)} {365})$ раз, а за $m=\frac N k$ переоформлений в $(1+\frac {q(k-1)} {365})^{\frac N k}$ раз. Для поиска оптимума можно N вынести из рассмотрения, ища величину k, дающую максимальный среднедневной прирост $(1+\frac {q(k-1)} {365})^{\frac 1 k}$ или, удобнее, её логарифм $\ln (1+\frac {q(k-1)} {365})/k$