Построение перпендикуляра к биссектрисе одной линейкой

[ilan]

как построить перпендикуляр к биссектрисе только с линейки? Огромное спасибо за помощь .

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: возвращено по просьбе sergey1.

[vorvalm]

ilan в сообщении #1137481 писал(а):

как построить перпендикуляр к биссектрисе только с линейки? Огромное спасибо за помощь .

А чем в этом случае отличается биссектриса от обыкновенной прямой?

[Lia]

vorvalm в сообщении #1138378 писал(а):

А чем в этом случае отличается биссектриса от обыкновенной прямой?

То есть?

[vorvalm]

Lia в сообщении #1138380 писал(а):

vorvalm в сообщении #1138378 писал(а):

А чем в этом случае отличается биссектриса от обыкновенной прямой?

То есть?

Какая разница в проведении перпендикуляра к биссектрисе или к любой другой прямой?

[Lia]

Не строится одной линейкой.
Да и тут задача криво сформулирована.

В классической постановке (Штейнер) она звучит так:
Дан угол и его биссектриса. С помощью одной линейки построить перпендикуляр к биссектрисе в вершине этого угла.

[sergey1]

Один перпендикуляр к биссектрисе - тот, что проходит через вершину угла - построить можно, пользуясь тем, что пара прямых и биссектрисы образованных ими углов образуют гармоническую четверку.
Интересно:
1. Можно ли провести второй перпендикуляр (почти уверен, что нет)
2. Есть ли у этой задачи "школьное решение".

[DeBill]

sergey1 в сообщении #1138384 писал(а):

Есть ли у этой задачи "школьное решение".

Ну, можно - векторами...
Типа: Пусть $O$- вершина, $B$ - точка на биссектрисе, и прямая через $B$ пересекает стороны угла в точках на расстояниях $x$ и $y$ (от вершины угла). Поместим в эти точки массы $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ соответственно. Тогда центр масс будет как раз в точке $B$ (свойство биссектрисы. Можно и явно: если $i,j$ -единичные вектора вдоль сторон угла, то $\overrightarrow {OB} =\frac{i+j}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}$). Проведем еще одну прямую через $B$, и пусть аналогичные отрезки равны $x_1, y _1$. В частности, получим бесплатно забавное свойство $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x_1} +\frac{1}{y_1}$. А теперь поменяем знак у масс в точках $X$ и $X_1$. По свойству биссектрисы внешнего угла (или - из соответствующих векторных выкладок) получим: центры масс (новых) пар точек $X, Y_1$ (и точек $X_1,Y$) лежат на биссектрисе внешнего угла (а старое забавное свойство, переписанное как $\frac{1}{y} - \frac{1}{x_1} = \frac{1}{y_1} - \frac{1}{x}$ даст забавное свойство для новой четверки, что и есть совпадение этих центров масс ) ...
Итого: построили точку на биссектрисе внешнего угла (точка пересечения прямых $XY_1$ и $X_1Y$)....

-- 17.07.2016, 15:02 --

А можно - проективно: отправим биссектрису внешнего угла на бесконечность. Получим задачу: даны две параллельные прямые, и прямая посередине. Построить пару параллельных прямых (не пар-х данным). Решение - как не фиг делать: через точку на средней прямой проведем пару прямых. Парал-м готов!
Возвращаясь назад, получаем конструкцию из первого решения....

[vorvalm]

Lia в сообщении #1138383 писал(а):

Дан угол и его биссектриса. С помощью одной линейки построить перпендикуляр к биссектрисе в вершине этого угла.

Подойдет ли такой вариант:
1) стоим перпендикуляр на расстоянии $L$ от вершины угла.
2) проводим прямую параллельную этому перпендикуляру через вершину угла.

[DeBill]

vorvalm в сообщении #1138411 писал(а):

1) стоим перпендикуляр на расстоянии $L$ от вершины угла.
2) проводим прямую параллельную этому перпендикуляру через вершину угла.

КАК? Есть: линейка (неравномерно обгрызенная со всех сторон, кроме одной). Циркуля - нет.

[sergey1]

DeBill в сообщении #1138408 писал(а):

sergey1 в сообщении #1138384 писал(а):

Есть ли у этой задачи "школьное решение".

Ну, можно - векторами...
Типа: Пусть $O$- вершина, $B$ - точка на биссектрисе, и прямая через $B$ пересекает стороны угла в точках на расстояниях $x$ и $y$ (от вершины угла). Поместим в эти точки массы $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ соответственно. Тогда центр масс будет как раз в точке $B$ (свойство биссектрисы. Можно и явно: если $i,j$ -единичные вектора вдоль сторон угла, то $\overrightarrow {OB} =\frac{i+j}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}$). Проведем еще одну прямую через $B$, и пусть аналогичные отрезки равны $x_1, y _1$. В частности, получим бесплатно забавное свойство $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x_1} +\frac{1}{y_1}$. А теперь поменяем знак у масс в точках $X$ и $X_1$. По свойству биссектрисы внешнего угла (или - из соответствующих векторных выкладок) получим: центры масс (новых) пар точек $X, Y_1$ (и точек $X_1,Y$) лежат на биссектрисе внешнего угла (а старое забавное свойство, переписанное как $\frac{1}{y} - \frac{1}{x_1} = \frac{1}{y_1} - \frac{1}{x}$ даст забавное свойство для новой четверки, что и есть совпадение этих центров масс ) ...
Итого: построили точку на биссектрисе внешнего угла (точка пересечения прямых $XY_1$ и $X_1Y$)....

-- 17.07.2016, 15:02 --

А можно - проективно: отправим биссектрису внешнего угла на бесконечность. Получим задачу: даны две параллельные прямые, и прямая посредине. Построить пару параллельных прямых (не пар-х данным). Решение - как не фиг делать: через точку на средней прямой проведем пару прямых. Парал-м готов!
Возвращаясь назад, получаем конструкцию из первого решения....

Спасибо, классно!

[DeBill]

sergey1 в сообщении #1138384 писал(а):

Можно ли провести второй перпендикуляр (почти уверен, что нет)

Пусть прямые - $y=kx, y=-kx$, биссектриса $y=0$. Прективное преобразование $x_1=\frac{1}{x}, y_1=\frac{y}{x}$ переводит вертикальные прямые (они перп-ны биссектрисе) в себя. Но: аффинное преобразование $x_2=x_1 +y_1, y_2=y_1$ их портит (но сохраняет картинку, включая беск. удаленную прямую). Вывод: низя

[vorvalm]

DeBill в сообщении #1138413 писал(а):

КАК? Есть: линейка (неравномерно обгрызенная со всех сторон, кроме одной). Циркуля - нет.

Этого в условии нет

[Lia]

vorvalm в сообщении #1138430 писал(а):

Этого в условии нет

Это условие заложено в формулировку "построить одной линейкой".

В задачах на построение циркулем и линейкой тоже нет условия, что линейка односторонняя без делений. Подразумевается, что тем, кто берется ее решать, оно известно.