Некоторый аспект коммутативных групп

[Conesinek]

Здравствуйте. Во время изучения у меня возник вопрос, я не могу в нём разобраться до конца уже много часов: любая ли коммутативная группа над алгебраически замкнутым полем имеет только неприводимые одномерные представления? Является ли это утверждение "сильным" и верно ли это для конечных?
Спасибо.

[Brukvalub]

Conesinek в сообщении #1135998 писал(а):

любая ли коммутативная группа над алгебраически замкнутым полем имеет только неприводимые одномерные представления?

Да.

[apriv]

Бывают, например, бесконечномерные неприводимые представления абелевых групп.

[Brukvalub]

apriv в сообщении #1136053 писал(а):

Бывают, например, бесконечномерные неприводимые представления абелевых групп.

Над алгебраически замкнутым полем?

[apriv]

Отчего ж нет? Хоть над $\mathbb{C}$.

[Brukvalub]

apriv в сообщении #1136165 писал(а):

Отчего ж нет? Хоть над $\mathbb{C}$.

У меня разрыв шаблона! Я еще студентом на лекциях А.И. Кострикина выучил, что все неприводимые над алгебраически замкнутым полем представления абелевых групп обязательно одномерны.
Вот и Бунинав своих лекциях доказывает это на стр 8, да и Винберг в своем учебнике "Курс алгебры" из-во "Факториал Пресс" от 2002 г. на стр. 450 утверждает про одномерность.
Мне остается попросить вас привести пример бесконечномерного неприводимого представления абелевой группы над алгебраически замкнутым полем или хотя бы дать ссылку на источник, где есть такой пример.

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1136193 писал(а):

У меня разрыв шаблона! Я еще студентом на лекциях А.И. Кострикина выучил, что все неприводимые над алгебраически замкнутым полем представления абелевых групп обязательно одномерны.
Вот и Бунина
в своих лекциях доказывает это на стр 8, да и Винберг в своем учебнике "Курс алгебры" из-во "Факториал Пресс" от 2002 г. на стр. 450 утверждает про одномерность.

А потому что там везде рассматриваются конечномерные представления.

Brukvalub в сообщении #1136193 писал(а):

Мне остается попросить вас привести пример бесконечномерного неприводимого представления абелевой группы над алгебраически замкнутым полем или хотя бы дать ссылку на источник, где есть такой пример.

Рассмотрим абелеву группу $\mathbb{Z}$ и счетномерное пространство $U$ функций $\mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ с конечным носителем. И пусть $n \in \mathbb{Z}$ действует как сдвиг $\{x_k\} \mapsto \{x_{k + n}\}$.

UPD. Ошибся, смотри ниже.

[Brukvalub]

Xaositect
Спасибо! Я как-то упустил условие конечномерности, считая его априори заданным.

[vpb]

Однако же это представление приводимо. Подпространство функций с конечным носителем, у которых сумма значений нуль --- собственное инвариантное подпространство.