периодическое решение системы оду

[zoo]

Расмотрим систему
$\dot{x}=x+f(t,x),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m,\quad f(t,x)=(f_1,\ldots,f_m)(t,x).$
Известно, что $f_k(t,x)$ - гладкие, скажем, $C^2(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m)$ и $1-$периодические по $t,\quad t\ge 0.$ Функция $f$ ограничена:
$\|f(t,x)\|\le M$ в $\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m$.

Задача. Доказать, что данная система имеет $1-$ периодическое решение.

Замечание (для тролей): под $1-$периодической функцией понимается функция удовлетворяющая при всех $t\ge 0$ уравнению $f(t+1)=f(t)$ не более того:)

[TOTAL]

zoo писал(а):

Замечание (для тролей): под $1-$периодической функцией понимается функция удовлетворяющая при всех $t\ge 0$ уравнению $f(t+1)=f(t)$ не более того:)

Замечание возвращается отправителю с пометкой "адрес не найден".

[zoo]

а может эту задачу надо было положить в корневую ветку

[Brukvalub]

Решение задачи тривиально следует из Теорем 2.1 и 2.2 параграфа 2 Главы 12 книги http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BC%D0%B0%D0%BD&network=1
Так что лучше задачку переместить в раздел " помогите решить / разобраться "

[zoo]

Brukvalub писал(а):

Решение задачи тривиально следует из Теорем 2.1 и 2.2 параграфа 2 Главы 12 книги http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BC%D0%B0%D0%BD&network=1
Так что лучше задачку переместить в раздел " помогите решить / разобраться "

бред очередной

[Brukvalub]

zoo писал(а):

бред очередной

Это черезвычайно сильный математический аргумент. Остается заметить, что, прежде, чем пыжиться и кичиться своей крутостью, полезно ознакомиться с классическими монографиями в тех областях математики, в которых хочется показать себя специалистом. А то можно в лужицу присесть, как тут только что и случилось. Кстати, я дал точные ссылки на книгу и теоремы в ней, и бредом их никто ранее не называл.

[zoo]

Brukvalub

Должен перед Вами извиниться, ссылка действительно совершенно правильная. Не понятно только, почему в разделе "олимпиадные задачи" должны быть вещи не содержащиеся в литературе.

Я обобщу условие задачи. Если это Вам покажется простым скажите, я напишу более общий вариант.

Рассмотрим систему ($k=1,\ldots,m$)
$\dot{x_k}=\lambda_k(t,x)x_k+f_k(t,x),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m,\quad f(t,x)=(f_1,\ldots,f_m)(t,x),\quad \lambda(t,x)=(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)(t,x).$
Известно, что функции $\lambda(t,x),f(t,x)$ - гладкие, скажем, $C^2(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m)$ и $1-$периодические по $t,\quad t\ge 0.$ Функции $\lambda_k,f_k$ ограничены:
$\|f(t,x)\|\le M$ и $0<c_1\le\lambda_k(t,x)<c_2$ в $\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m$.

Задача. Доказать, что данная система имеет $1-$ периодическое решение.

Теперь, кажется, шпаргалки закончились, теперь решать надо. С интересом слушаю Ваши предложения.