Система неравенств с параметром.

[iou]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Задача:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &x^2+2xy-7y^2\geqslant\dfrac{1-a}{1+a}& \\ &3x^2+10xy-5y^2\leqslant-2& \\ \end{array} \right.$$

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств имеет решение.
Если бы справа хоть где-то был бы ноль, получилось бы свести к алгебраическому неравенству второй степени.
Я пытался сделать так: рассмотреть неравенства относительно $y$, как квадратные, выписать дискриминант и корни, получить выражения для $y$, нарисовать всё это и найти $a$. Но успехом это не увенчалось, поскольку рисовать там всё это весьма проблематично.
Какой тут наиболее оптимальный способ решения?

И есть ли вообще какой-то универсальный способ решения вот таких штук?

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &ax^2+bxy+cy^2=d& \\ &ex^2+fxy+gy^2=h& \\ \end{array} \right.$$

[Brukvalub]

iou в сообщении #1137496 писал(а):

И есть ли вообще какой-то универсальный способ решения вот таких штук?

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &ax^2+bxy+cy^2=d& \\ &ex^2+fxy+gy^2=h& \\ \end{array} \right.$$

Домножением уравнений на соответствующие константы уравниваются правые части, после чего приравниваются левые части - получается однородное уравнение второй степени. Далее - ясно.
Про задачу: для начала домножьте первое неравенство на $-2$ и сложите результат со вторым неравенством, потом подумайте.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1137501 писал(а):

Про задачу: для начала домножьте первое неравенство на $-2$ и сложите результат со вторым неравенством, потом подумайте.

Получается:

$$(x+3y)^2\leqslant\dfrac{-4}{a+1}$$

Заметим, что слева функция принимает неотрицательные значения, поэтому для нашего условия это неравенство эквивалентно следующему:
$\dfrac{-4}{a+1}\geqslant0$, откуда $a<-1$

[Brukvalub]

iou в сообщении #1137506 писал(а):

откуда $a<-1$

Пока это только необходимое условие разрешимости системы неравенств. Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1137507 писал(а):

Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

$(x+3y)^2\leqslant \dfrac{-4}{a+1}$ равносильно исходной системе неравенств, при $a<-1$ правая часть неравенства больше нуля, а также всегда существует $y=\frac{-x}{3}$, то есть при $a<-1$ существует как минимум 1 решение (на самом деле их так бесконечно много).

[Brukvalub]

iou в сообщении #1137510 писал(а):

$(x+3y)^2\leqslant \dfrac{-4}{a+1}$ равносильно исходной системе неравенств, при $a<-1$

Это КАК???

[iou]

Brukvalub в сообщении #1137515 писал(а):

Это КАК???

При сложении неравенств корни не терялись, поэтому область решений получившегося неравенства совпадает с областью решений системы.

[Brukvalub]

iou в сообщении #1137517 писал(а):

При сложении неравенств корни не терялись, поэтому область решений получившегося неравенства совпадает с областью решений системы.

Докажите это утверждение подробно.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1137518 писал(а):

Докажите это утверждение подробно.

Оно ложно. [нашёл простой контрпример]

Brukvalub в сообщении #1137507 писал(а):

Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

Я довольно долго просидел с этой задачей, но так и не получилось доказать достаточность. Ведь достаточность в данном случае подразумевает отсутствие других необходимых условий? То есть нужно показать, что случай $a \in (-1; \infty)$ нас не интересует, но у меня этого не получилось.

[Brukvalub]

iou в сообщении #1137562 писал(а):

Ведь достаточность в данном случае подразумевает отсутствие других необходимых условий?

Нет. Например, для положительности числа необходимо (и достаточно), чтобы обратное к нему тоже было положительным, но также необходимо, чтобы это число было больше, чем $-1$ .

[iou]

Brukvalub в сообщении #1137507 писал(а):

Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

Я придумал что-то такое.
Введём функцию $f(a)=\dfrac{1-a}{1+a}$, при $a \in (-\infty; -1)$ эта функция непрерывна и принимает значения $(-\infty; -1)$
Тогда я могу найти такую пару $(x, y)$, при подстановке которой в первое неравенство системы неравенство будет верно для любого значения $f(a)$ (второе неравенство тоже будет верно), но, насколько я понимаю, это недостаточное условие.

[Brukvalub]

iou в сообщении #1137645 писал(а):

Тогда я могу найти такую пару $(x, y)$, при подстановке которой в первое неравенство системы неравенство будет верно для любого значения $f(a)$ (второе неравенство тоже будет верно)

Если сможете найти такую пару, то этого будет как раз достаточно. Осталось строго обосновать, почему такая пара существует.