Мой пример не будет являться категорией? На каком этапе ошибка, как исправить и доказать утверждение?
Пример нормальный, просто указанный функтор действительно не обязан быть строгим. Думаю, автор имел в виду несколько другую конструкцию: вложение Йонеды. Это вот что: будем теперь варьировать объект

(все происходит в фиксированной категории

). Наша конструкция сопоставляет каждому объекту

функтор из

в

. Ее можно продолжить до функтора из категории

в категорию всех функторов из

в

— точнее, до контравариантного функтора, то есть, до функтора из

в

. Для этого, разумеется, мы должны доопределить его на морфизмах: сопоставив каждому морфизму

в категории

морфизм (то есть, естественное преобразование) функторов

. Это естественное преобразование, разумеется, задается композицией морфизмов. Полученный функтор

(или аналогично получаемый функтор

уже является строгим (примерно это утверждение называется леммой Йонеды).