Показать, что конкретный функтор строгий

[Deffe]

В лекции на 8-й минуте показывается следующий пример:
Функтор из произвольной категории в категорию множеств

$$ C \to \mathrm{Sets}$$

отображающий объекты по правилу

$$ F(A)=Mor(B,A)$$

где $ B \in C $ фиксирован, а стрелки

$$ F(f)\colon g \mapsto f \circ g $$

Этот же пример в книге на странице 43(чтобы попасть на нее внизу нужно выбрать 36).
Далее в видео лекции утверждается, что этот функтор строгий, но как это проверить не говорится.
Пытаюсь сдеалть это. Нужно показать, что различные стрелки исходной категории переходят в различные стрелки в $Sets$.
Пусть

$$A \overset{f}{\rightarrow} {A}', A \overset{f'}{\rightarrow} {A}', f \neq f'$$

Они переходят соответвенно в следующие отображения:

$$ F(f)\colon g \mapsto f \circ g, F(f')\colon g \mapsto f' \circ g $$

Теперь нужно показать что

$$F(f) \neq F(f')$$

То есть

$$\exists g \in Mor(B,A): f \circ g \neq f' \circ g $$

Чем это может гарантироваться? Пытаясь найти минимальный пример получил следующую категорию, в которой это не выполняется(неверный?):

$$ Ob(C) = \left\lbrace A,A',B \right\rbrace $$

И следующие морфизмы(плюс еденичные, конечно):

$$ B \overset{g}{\rightarrow} A, A \overset{f}{\rightarrow} A', A \overset{f'}{\rightarrow} A', B \overset{h}{\rightarrow} A', $$

В виде графа выглядит так(не знаю принято ли вообще изображать категории в виде графов?):

$$ \xymatrix{ B \ar[r]^g \ar@/_2pc/[rr]_h &A \ar@/_/[r]_f \ar@/^/[r]^{f'} &A' } $$

Мой пример не будет являться категорией? На каком этапе ошибка, как исправить и доказать утверждение?

[apriv]

Deffe в сообщении #1137076 писал(а):

Мой пример не будет являться категорией? На каком этапе ошибка, как исправить и доказать утверждение?

Пример нормальный, просто указанный функтор действительно не обязан быть строгим. Думаю, автор имел в виду несколько другую конструкцию: вложение Йонеды. Это вот что: будем теперь варьировать объект $B$ (все происходит в фиксированной категории $\mathcal{C}$). Наша конструкция сопоставляет каждому объекту $B$ функтор из $\mathcal{C}$ в $\operatorname{Sets}$. Ее можно продолжить до функтора из категории $\mathcal{C}$ в категорию всех функторов из $\mathcal{C}$ в $\operatorname{Sets}$ — точнее, до контравариантного функтора, то есть, до функтора из $\mathcal{C}^{\operatorname{op}}$ в $\operatorname{Func}(\mathcal{C},\operatorname{Sets})$. Для этого, разумеется, мы должны доопределить его на морфизмах: сопоставив каждому морфизму $B\to B'$ в категории $\mathcal{C}$ морфизм (то есть, естественное преобразование) функторов $\operatorname{Hom}(B',{-})\to\operatorname{Hom}(B,{-})$. Это естественное преобразование, разумеется, задается композицией морфизмов. Полученный функтор $\mathcal{C}^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Func}(\mathcal{C},\operatorname{Sets})$ (или аналогично получаемый функтор $\mathcal{C} \to \operatorname{Func}(\mathcal{C}^{\operatorname{op}},\operatorname{Sets})$ уже является строгим (примерно это утверждение называется леммой Йонеды).