Треугольник, геометрия

[MtkS]

Помогите с задачкой пожалуйста!
В треугольнике ABC проведены биссектриса AL, медиана BM и высота CK. Треугольник KLM равносторонний. Докажите, что треугольник ABC также равносторонний.

[Алексей К.]

Тупо координаты точек ---

$$A=(-c_1,0),\quad B=(c_2,0),\quad C=(0,h),\quad K=(0,0),\quad M=(-c_1/2,h/2),\quad L=(\frac{bc_2}{b+c},\frac{hc}{b+c})$$

($a,b,c$ --- длины сторон, лежащих против углов $A,B,C$)
Дополнительные соотношения:

$$c=c_1+c_2,$$

$$b^2=c_1^2+h^2,$$

$$a^2=c_2^2+h^2,$$

А дальше ... приравнивать, исключать, раскладывать на множители...
Maple Вам в помощь!

[незваный гость]

А это верно?

[Алексей К.]

Я не смог довести до конца (чисто по причинам "в рабочее время"). Самому интересно; ежели завтра аскер не оповестит об успехе, прийдётся доделать.
Какой-то resultant здорово разложился на множители, но из-за помех (начальники в офисе) окошко Maple пришлось скоропостижно закрыть.
Мне кажется, поместив точку К в начало коордитат, я очень сгениальничал. Завтра.

[незваный гость]

Я не просто так спрашиваю… Есть вот такая крюкозябра $a = 3.108308237486080564237131137345457659047$,
$b=0.6055027219426764152104791344570155670169$,
$c=2.542470551123832033032878281206604457494$, и, вроде, с ней всё хорошо ($m_a=h_b=\beta_c = 1$).

У меня, к сожалению, перепутаны обозначения сторон, но надеюсь, это не помешает.

[RIP]

Видимо, в задании пропущено слово "остроугольный", поскольку для остроугольного $\triangle ABC$ утверждение верно и легко доказывается через равенство треугольников $AKL$ и $AML$.

[незваный гость]

Я не ту задачу решал: $|AL| = |BM|=|CK|$. Позор! Позор моим сединам.

В правильной формулировке верно всегда.

[RIP]

незваный гость писал(а):

Я не ту задачу решал: $|AL| = |BM|=|CK|$.

Кстати, если треугольник остроугольный, то и в этом случае он обязан быть правильным (это задача с первой Всесоюзной олимпиады 1967г. для 9-го класса).

[незваный гость]

Да. Но существует пример хренового тупоугольного треугольника (см. выше). Именно то, что остроугольный треугольник должен быть правильным, меня и сбило с истинного пути на решение не той задачи.

[MtkS]

Ничего не понимаю, что вы понаписали тут! Задача 7 класса!

[TOTAL]

MtkS писал(а):

Ничего не понимаю, что вы понаписали тут! Задача 7 класса!

Пусть 7-классник возьмет циркуль и опишет окружность с центром

$$M$$

радиусом

$$MA$$

.
На этой окружности будут лежать точки

$$A, C$$

(почему?), точки

$$K$$

(почему?) и

$$L$$

(почему?) и т.д.