Помогите понять где я ошибся решая интеграл?

[beginner21]

Решаю неопределенный интеграл методом замены переменной, но не могу решить:
$\int \dfrac{xdx}{1+4x^2} \Rightarrow \begin{bmatrix} t = 1+4x^2&\\ x = \sqrt{\frac{t-1}{4}}&\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \int \frac{1}{t} \cdot \sqrt{\frac{t-1}{4}} dx \Rightarrow \frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{t-1}}{t} dx \Rightarrow ???$

Дальше не понятно что делать, подскажите где ошибка?

[Mihr]

beginner21, делая замену переменной, нужно преобразовать и дифференциал. Просто возьмите дифференциал от каждой части равенства $t=1+4x^2$, а дальше, вероятно, сами увидите, что делать.

[beginner21]

Точно! Как же глупо я затупил, я просто забыл про дифференциал(((
$\int \dfrac{xdx}{1+4x^2} \Rightarrow \begin{bmatrix} t = 1+4x^2&\\ x = \sqrt{\frac{t-1}{4}}&\\ dt = (1+4x^2)' dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{8x}&\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \int \frac{1}{8\cdot \sqrt{\frac{t-1}{4}}} \cdot \frac{1}{t} \cdot \sqrt{\frac{t-1}{4}} dt $


$ \Rightarrow \frac{1}{8}\int \frac{1}{t} dt \Rightarrow \frac{1}{8} \cdot \ln(t) \Rightarrow \frac{1}{8} \cdot \ln(1+4x^2) + C$

Видимо от недостатка опыта(

Спасибо большое

[Mihr]

Сейчас ответ правильный, но написано много лишнего. Здесь $x$ вообще можно было бы не выражать, а сразу выразить произведение $xdx$. И обозначение логарифма символом $\operatorname{Ln}$ вместо $\ln$ не вполне уместно. У символа $\operatorname{Ln}$ несколько иной смысл, который Вы узнаете, когда будете изучать ТФКП.

[beginner21]

На счет Ln это так латекс меня заставил написать, но теперь я понял что там есть \ln тэг.
Понял на счет xdx! Точно) Спасибо

[Mihr]

beginner21 в сообщении #1136318 писал(а):

А вот на счет того что бы сразу выразить произведения xdx не совсем понятно.

Ну я же Вам написал выше

Mihr в сообщении #1136311 писал(а):

Просто возьмите дифференциал от каждой части равенства $t=1+4x^2$

Давайте сделаем по шагам:
1. Припишем к каждой части этого равенства слева символ $d$
2. Упростим правую часть полученного равенства
3. Из упрощённого равенства выразим целиком $xdx$ и целиком подставим то что получится в наш интеграл (в числитель дроби).

[beginner21]

Понял! Спасибо) Догадался уже когда написал)