2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Окрестности в метрическом пространстве
Сообщение06.07.2016, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Пусть $(X,\rho)$ --- метрическое пространство, а $F$ и $U$ --- его подмножества, такие что $F$ --- замкнуто, $U$ --- открыто и $F \subset U$. Верно ли, что найдется открытое подмножество $B$, такое, что $F \subset B \subset \overline{B} \subset U$?

Для компактных пространств можно рассмотреть $\varepsilon$-окрестности $\mathcal{O}_{\varepsilon}(F)$ и показать, что при достаточно малых $\varepsilon$ будет выполнятся включение $F \subset \mathcal{O}_{\varepsilon}(F) \subset U$.
Для не компактных, насколько я понимаю, этот трюк не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окрестности в метрическом пространстве
Сообщение06.07.2016, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Может, так: метрическое пространство нормально, в нормальных пространствах работает лемма Урысона о непрерывной функции...

 Профиль  
                  
 
 Re: Окрестности в метрическом пространстве
Сообщение06.07.2016, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Все оказалось проще. Применим нормальность к $F$ и $X \setminus U$, окрестность из нормальности для $F$ будет искомой.
На самом деле это свойство равносильно нормальности (тут я вспомнил соответствующую задачу из Колмогорова-Фомина в главе про отделимость, которую не решил два года назад).

 Профиль  
                  
 
 Re: Окрестности в метрическом пространстве
Сообщение06.07.2016, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
$$B=\{x\in X:\rho(x,F)<\rho(x,X\setminus U)\}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Окрестности в метрическом пространстве
Сообщение06.07.2016, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4790
А если взять дискретную метрику?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Окрестности в метрическом пространстве
Сообщение06.07.2016, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
Geen в сообщении #1136136 писал(а):
А если взять дискретную метрику?...
А в чём проблема с дискретной метрикой?

P.S. Я предполагаю, что в первом сообщении символ $\subset$ означает нестрогое включение. Со строгим включением проблемы будут и без метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окрестности в метрическом пространстве
Сообщение06.07.2016, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8886
Geen в сообщении #1136136 писал(а):
А если взять дискретную метрику?...
Тогда достаточно положить, что $B = F$, знаете ли:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group