Неравенство

[oxid]

Привет!

Доказываю такое неравенство. Проверьте пожалуйста мои рассуждения.

$(\frac{n}{e})^n < n! $
Делаю по индукции. При n=1 очевидно что выполняется.
Допустим что при некотором n оно тоже выполняется, проверим что продолжает выполняться при n+1

Домножим каждую часть на (n+1)
$(\frac{n}{e})^n\cdot(n+1) < n!\cdot(n+1) $

Чтобы из $(\frac{n}{e})^n\cdot(n+1)$ получить $(\frac{n+1}{e})^{n+1}$ надо домножить его на $ (\frac{n+1}{n})^n\cdot\frac{1}{e} $

Умножаю обе части неравенства на это

$ (\frac{n+1}{e})^{n+1} < \frac{ (n+1)!\cdot (n+1)^n }{ e\cdot n^n }$

$\frac{ (n+1)^n }{ e\cdot n^n } = (1+\frac{1}{n})^n\cdot \frac{1}{e} $, что не превышает 1, значит $\frac{ (n+1)!\cdot (n+1)^n }{ e\cdot n^n } \le (n+1)!$

В итоге получаем
$ (\frac{n+1}{e})^{n+1} < (n+1)! $

Спасибо!

[Евгений Машеров]

Неравенство верное, но как-то оно не очень нужно, после формулы Стирлинга.

[svv]

У меня вот тут вопрос:

oxid в сообщении #1136049 писал(а):

$\frac{ (n+1)^n }{ e\cdot n^n } = (1+\frac{1}{n})^n\cdot \frac{1}{e} $, что не превышает 1

Известно, что
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac 1 n\right)^n=e$
Но чтобы отсюда сделать вывод, что $\left(1+\frac 1 n\right)^n<e$, надо знать, что левая часть с ростом $n$ монотонно возрастает. Я вижу, что при $n\to\infty$ основание $1+\frac 1 n$ убывает, показатель степени $n$ растёт — кто знает, какая тенденция перевесит? может, там колебания какие-нибудь?

[oxid]

svv в сообщении #1136057 писал(а):

Но чтобы отсюда сделать вывод, что $\left(1+\frac 1 n\right)^n<e$, надо знать, что левая часть с ростом $n$ монотонно возрастает. Я вижу, что при $n\to\infty$ основание $1+\frac 1 n$ убывает, показатель степени $n$ растёт — кто знает, какая тенденция перевесит? может, там колебания какие-нибудь?

Ну монотонность этой последовательности я доказывал отдельно, думаю тут повторно этого делать не нужно

[svv]

OK. Просто пока не вставите пару слов про это, думаю, народ будет задавать вопросы.

[TOTAL]

А если без индукции так записать $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\left( 1 + \dfrac{1}{i} \right)^i < e^n$