Несократимые дроби

[Ktina]

а) Найдите три несократимых дроби с числителями и знаменателями, не равными 1, сумма которых — простое число, и сумма дробей, обратных к ним — тоже простое число.

б) Существуют ли четыре таких дроби?

[waxtep]

а) поскольку $(a+b+c)(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c)\ge 9$, можно ожидать, что наименьшими такими простыми числами могут быть $2$ и $5$. Действительно: $\frac 5 2+\frac 5 4+\frac 5 4=5, \frac 2 5+\frac 4 5+\frac 4 5=2$.

б) попробуем по аналогии: $x(\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 8+\frac 1 8)\Rightarrow \frac {11}2+\frac {11}4+\frac{11}8+\frac{11}8=11, \frac 2{11}+\frac 4{11}+\frac 8{11}+\frac 8{11}=2$.

[Ktina]

waxtep
Спасибо!