dzeta(-2)

[RIP]

(Оффтоп)

Дзета-функцию в целых отрицательных точках можно также считать с помощью формулы суммирования Эйлера–Маклорена, которая даёт:

$$\zeta(s) = \frac{1}{s-1} \sum_{k=0}^{n+1}\binom{1-s}{k}B_{k} - \binom{s+n}{n+1} \int_{1}^{+\infty}\frac{B_{n+1}\bigl(\{x\}\bigr)\,\mathrm{d}x}{x^{s+n+1}}.$$

Эта формула даёт аналитическое продолжение дзеты в область $\operatorname{Re}s>-n$. В частности,

$$\zeta(1-n)=-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}B_{k}=(-1)^{n+1}\frac{B_{n}}{n}=\begin{cases}-1/2,&n=1,\\-B_{n}/n,&n>1.\end{cases}$$

Другой простой (но незаконный) способ можно посмотреть в этом сообщении.

[MestnyBomzh]

Brukvalub в сообщении #1135809 писал(а):

Тогда уж $\frac{0}{0}=\pi$ , ведь проверка умножением результат подтверждает!

То есть метод, приведенный мной, не является верным? Странно, что такое могли рассказывать в университете..

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1135838 писал(а):

о есть метод, приведенный мной, не является верным?

Общеизвестно, что манипуляции над не существующими объектами могут давать поразительные результаты!

[Mikhail_K]

MestnyBomzh в сообщении #1135709 писал(а):

Но это доказательство же строгое (или нет?)

MestnyBomzh в сообщении #1135807 писал(а):

Сначала рассматривается ряд $S_1 = 1-1+1-1+1...$. Так как $S_1 = 1 - (1-1+1-1+1...) = 1 - S_1 \Rightarrow S_1 = \frac{1}{2}$
Потом рассматривается ряд $S_2 = 1-2+3-4...$. Дабы найти его сумму к нему прибавляют его же, то есть $S_2+S_2$. Складывая определенным образом слагаемые получаем, что $S_2+S_2 = S_1 \Rightarrow S_2 = \frac{1}{4}$.
Ну и потом уже рассматривается наш ряд: $S_3 = 1+2+3+4+..$. Оказывается, что $S_3 - S_2 = 4S_3$. Ну и отсюда $S_3 = \frac{-1}{12}$.
Я имел в виду этот метод, доступный даже школьнику

MestnyBomzh в сообщении #1135838 писал(а):

Странно, что такое могли рассказывать в университете..

Разумеется, такой "метод, доступный школьнику" строгим не является. Хотя бы потому, что в нём не рассказывается, что, собственно, понимать под суммой таких рядов как $1-1+1-1+\dots$ или $1+2+3+4+\dots$. Обычное определение - предел частичных сумм - здесь явно не годится. А потом ещё нужно показать, что над этими суммами можно производить нужные Вам операции - в частности, "складывать определённым образом слагаемые", как Вы говорите. Допускаю, что это можно "переделать" в строгое рассуждение, но школьнику оно уже не будет доступно (хотя, школьники тоже разные бывают, конечно).

То, что это рассказали в университете - не критерий строгости. Чтобы рассуждение было строгим, надо чтобы в нём все используемые понятия были точно определены и все выводы были логически обоснованы. Легко видеть, что в Вашем рассуждении это не так. Ну а рассказать в университете это вполне могли - но как "байку", а не как строгое рассуждение. Ну, надо же иногда разбавлять сухие формулы и доказательства чем-то забавным.