Движение искуственных спутников вокруг Земли.

[PetrPetrov]

Чтобы спутник постоянно вращался вокруг Земли и не падал, ему надо сообщить первую космическую скорость. А можно ли, например, взять постоянный магнит и с какой-либо определенной скоростью пустить вокруг него стальной шарик, чтобы этот стальной шарик стал "искусственным спутником" постоянного магнита? Если нет, то почему? Имеет ли природа силы значение? Если силы гравитационной природы, то искусственный спутник возможен, а если электромагнитной природы, то нет?

[Munin]

Да, можно.

Но проблема в том, что такое движение будет неустойчивым. Стоит шарику чуть-чуть приблизиться, и он примагнитится. Стоит шарику чуть-чуть отдалиться - и он оторвётся прочь.

Силы гравитационной природы делают равновесие безразличным (не устойчивым, но и не неустойчивым). Если спутник чуть-чуть приблизится, то он просто займёт новую орбиту, и будет летать по ней. Для этого нужен закон сил вида $\sim 1/R^2.$ (Можно объяснить почему, но это долго.) Вот в этом смысле, природа силы имеет значение. Притяжение стального шарика к магниту имеет закон вида $\sim 1/R^4.$

Можно стабилизировать орбиту. Например, делают так: помещают магнит под столом или под резиновой плёнкой, а шарик пускают кататься поверху. Это распространённая (хотя не точная) модель движения планеты.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1135159 писал(а):

Для этого нужен закон сил вида $\sim 1/R^2.$

Или $\sim R^1$.

[Red_Herring]

Потенциалы $V=-1/r$ и $V=r^2$ обеспечивают устойчивое движение по замкнутым орбитам. Если последнее условие снять, то пойдет любой потенциал т.ч. эффективный потенциал $V^*:=V+M^2/r^2 $образовывал бы потенциальную яму. В частности, пойдет $V=-r^m$ с $-2<m<0$, и $V=r^m$ с $m>0$. (просто периоды колебаний $r$ и $\phi$ будут разными).

[PetrPetrov]

То есть получается, что устойчивость тела на орбите зависит от закона сил? То есть если закон сил вида $\sim 1/R^2$ то равновесие безразличное, а если закон сил вида $\sim 1/R^4$ то равновесие неустойчивое?

[Pphantom]

PetrPetrov в сообщении #1135189 писал(а):

То есть получается, что устойчивость тела на орбите зависит от закона сил? То есть если закон сил вида $\sim 1/R^2$ то равновесие безразличное, а если закон сил вида $\sim 1/R^4$ то равновесие неустойчивое?

Это смотря что понимать под устойчивостью. Если устойчивость по Лагранжу, то ответ уже написал Red_Herring - достаточно лишь, чтобы сила была консервативной (а все центральные силы таковыми являются).

[Red_Herring]

Pphantom в сообщении #1135191 писал(а):

достаточно лишь, чтобы сила была консервативной

Ну нет: если сила потенциал $V= -r^{-2}$ то при угловом моменте $<1$ спутник завалится, а если $-Vr^2 \to +\infty$ при $r\to 0$, то завалка будет всегда.

Ну и на бесконечности эффективный потенциал должен возрастать: до $+\infty$ или $-0$

[Munin]

Red_Herring
Есть вопрос конкретно про $V=-1/r^3.$

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1135204 писал(а):

Red_Herring
Есть вопрос конкретно про $V=-1/r^3.$

Ну давайте посмотрим эффективный потенциал: $V^*=-r^{-3} + M^2r^{-2}$

Теперь видите, что случится со спутником а) слева от максимума (упадет) б) справа от него (убежит)

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1135194 писал(а):

Ну нет: если сила потенциал $V= -r^{-2}$ то при угловом моменте $<1$ спутник завалится, а если $-Vr^2 \to +\infty$ при $r\to 0$, то завалка будет всегда.

Да, но моему утверждению это не противоречит. Другое дело, что потенциал действительно должен быть монотонным.

[arbuz]

PetrPetrov в сообщении #1135140 писал(а):

А можно ли, например, взять постоянный магнит и с какой-либо определенной скоростью пустить вокруг него стальной шарик, чтобы этот стальной шарик стал "искусственным спутником" постоянного магнита? Если нет, то почему? Имеет ли природа силы значение?

Если бы существовали магнитные заряды, то можно было бы. Но таковых пока не обнаружили. Все магниты - это магнитные диполи. У них зависимость силы от растояния не такая, как требуется. Движение по орбите возможно, но оно неустойчивое.

Если же вы возьмете электрические заряды, то все получится. Надо только проследить, чтобы размеры заряженых тел были достаточно малыми, чтобы наведенный дипольный момент не искажал простую картину с законом обратных квадратов для сил.

[Munin]

arbuz в сообщении #1135307 писал(а):

Все магниты - это магнитные диполи. У них зависимость силы от растояния не такая, как требуется.

Дело даже не в этом. А в том, что стальной шарик - это не постоянный магнит, а индуцированный.

$\sim 1/r^4$ я написал для линейно откликающегося шарика и одного магнитного полюса. Второй можно удалить, если сделать длинный тонкий магнит (или даже соленоид или электромагнит), более длинный, чем расстояние от шарика до конца магнита.