Найти значение суммы.

[Charlz_Klug]

Обнаружил что не понимаю как решать задачи следующего рода:
$1.$ Вычислить сумму $S_n(x) = \sum \limits_{k=1}^n \sin{kx}$
$2.$ Последовательность ${x_n}$ задана формулой $x_n = a x_{n-1} + b$. Выразить $S_n = \sum \limits_{k-1}^n x_k$ через $x_1$, $a$, $b$ и $n$.
Подскажите, пожалуйста, литературу по подобным задачам.

[ET]

2 Школьный учебник по математике. Сумма арифметической прогрессии вру, не так увидел
1. Сложнее. Я бы попробовал начать с того,что $\sin a= \operatorname{Im} e^{ia}$ Из этого получится сумма геометрической прогрессии, но получится ли что-то там хорошее - не знаю. То есть однозначно получится что-то вида $\operatorname{Im} something complex$ по приведет ли это к чему-то некомплексному...

-- Пн июн 27, 2016 10:56:05 --

Charlz_Klug в сообщении #1134179 писал(а):

$2.$ Последовательность ${x_n}$ задана формулой $x_n = a x_{n-1} + b$. Выразить $S_n = \sum \limits_{k-1}^n x_k$ через $x_1$, $a$, $b$ и $n$.

$x_n = a x_{n-1} + b $
тут геометрическая прогрессия выделяться должна. то есть это должно быть геом прогрессия плюс константа

то есть как-то так, что $x_n+\frac{b}{a-1}$ образуют геом прогрессию

[Xaositect]

Charlz_Klug в сообщении #1134179 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, литературу по подобным задачам.

Грехем, Кнут, Паташник "Конкретная математика".

[NSKuber]

Первую сумму рассказывают в курсе матана, когда исследуют сходимость ряда $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \sin{kx}$
Она превращается в телескопическую с помощью тригонометрических тождеств.

[Xaositect]

Либо через комплексную экспоненту и геометрическую прогрессию.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1134179 писал(а):

$1.$ Вычислить сумму $S_n(x) = \sum \limits_{k=1}^n \sin{kx}$

Умножить обе части равенства на $\sin\frac x2$, произведение синусов преобразовать в разность по тригонометрическим формулам. Далее можно для наглядности расписать сумму без знака $\sum$, чтобы посмотреть, что сокращается.

Charlz_Klug в сообщении #1134179 писал(а):

$2.$ Последовательность ${x_n}$ задана формулой $x_n = a x_{n-1} + b$. Выразить $S_n = \sum \limits_{k-1}^n x_k$ через $x_1$, $a$, $b$ и $n$.

Выпишите последовательно $a_2$, $a_3$, $a_4$,… (пока не найдёт просветление). Выведите формулу для $a_n$. Потом беритесь за сумму. Ничего сложнее геометрический прогрессии не должно получиться.

[Charlz_Klug]

Спасибо всем откликнувшимся. Решение конкретно этих задач я знаю, мне не хватало развёрнутой литературы. Похоже, что "Конкретная математика", подсказанная Xaositect, - это то, что надо. Xaositect, спасибо за литературу!

[mihailm]

Вопрос вроде как стоял про решение задач "подобного рода". Так вот указанные способы (через формулу Муавра и представление каждого слагаемого в виде подходящей разности) это и есть те немногие магистральные методы для решения этих самых "подобных задач". Так что скорее всего не книжек не хватает, а чего то другого. Кстати Кнут и компания в упомянутой книге никаких способов решения, кроме как на примерах не рассматривают.

[Charlz_Klug]

mihailm в сообщении #1134264 писал(а):

Так вот указанные способы (через формулу Муавра и представление каждого слагаемого в виде подходящей разности) это и есть те немногие магистральные методы для решения этих самых "подобных задач". Так что скорее всего не книжек не хватает, а чего то другого. Кстати Кнут и компания в упомянутой книге никаких способов решения, кроме как на примерах не рассматривают.

Спасибо, поразмышляю над тем, чего мне не хватает.

[iifat]

Charlz_Klug в сообщении #1134268 писал(а):

что-то вида $\operatorname{Im} something complex$ по приведет ли это к чему-то некомплексному

$\operatorname{Im} x$ уж всяко действителен либо я вообще не понимаю этой фразы.

[ET]

Это не к нему, а ко мне. Да, неправильно выразился. Я имел ввиду, что не уверен, что то, что получится можно свести к чему-то без $\operatorname{Im}$ и без недействительных чисел в выражении

[deep blue]

ET, Там все получается как надо.
${\frac {1-{{\rm e}^{ \left( n+1 \right) i\alpha }}}{1-{{\rm e}^{i \alpha}}}}={\frac {1-{{\rm e}^{ \left( n+1 \right) i\alpha }}}{1-\cos \left( a \right) -i\sin \left( a \right) }}={\frac { \left( 1-\cos \left( \left( n+1 \right) a \right) -i\sin \left( \left( n+1 \right) a \right) \right) \left( 1-\cos \left( a \right) +i\sin \left( a \right) \right) }{2-2\,\cos \left( a \right) }}$
Далее просто перемножаем два комплексных числа и принимаем мнимую часть за ответ.

[ET]

(Оффтоп)

deep blue
Ах, потом обратно расписать $e^{ia}=\cos a + i\sin a$, что надо перемножить и взять нужную часть, спасибо, вышло из головы