топология поточечной сходимости

[loshka]

Возник вопрос, зачем в определение базы топологии поточечной сходимости берутся все возможные пересечения?
Определение:Топология на множестве $Y^X$ порожденная базой состоящей из всех множеств вида $\bigcap\limits_{i=1}^k M(A_i;B_i) $ где $A_i$ конечное множество в X, а $B_i$ открытое множество в Y. $M(A;B)=\lbrace f\in Y^X: f(A)\subset B \rbrace$ называется топологией поточечной сходимости.
Почему нельзя взять просто все возможные $M(A_i;B_i)$?

[Xaositect]

Если взять $M(A, B)$, то это будет предбаза, а не база.

[loshka]

эм, а можно спросить почему?) или книжку где об этом подробно пишут, у Энгелькинга этот момент как-то не объясняется

[Mikhail_K]

loshka в сообщении #1134319 писал(а):

Почему нельзя взять просто все возможные $M(A_i;B_i)$?

Видимо потому, что это просто будет не база. Не будет выполняться критерий базы.
Как это доказать - можно попробовать как-нибудь так, наверное:
Пусть $A_1=\{a_1\}$, $A_2=\{a_2\}$ - одноточечные множества, $B_1$ и $B_2$ - непересекающиеся открытые. $M_1=M(A_1,B_1)$ и $M_2=M(A_2,B_2)$ будут элементами Вашей "базы". Согласно критерию базы, для любого $f\in M_1\cap M_2$ должен существовать элемент базы $M_3=M(A_3,B_3)$, такой что $f\in M_3$ и $M_3\subset M_1\cap M_2$. Если хотя бы одна из точек $a_1$, $a_2$ не принадлежит $A_3$, например $a_1\notin A_3$, то $M_3$ очевидно будет содержать функции, переводящие эту точку куда угодно, и будет нарушено $M_3\subset M_1\cap M_2$. Если же $a_1,a_2\in A_3$ (и, очевидно, $f(a_1),f(a_2)\in B_3$), то в $M_3$ наверняка найдётся функция, переводящая $a_1$ в $f(a_2)\in B_2$, а $a_2$ в $f(a_1)\in B_1$ и опять не принадлежащая $M_1\cap M_2$.