Колебательный контур

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Помогите пжлста с задачами.
1. Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов емкостью $C $ каждый, заряжена до напряжения $U_m $ и в начальный момент времени ($t_0 = 0$) подключена к катушке индуктивностью $L$ так, что образовался колебательный контур. Спустя некоторое время $\Delta t$ один из конденсаторов пробивается и сопротивление между его обкладками становится равным нулю. Найти амплитуду заряда $q_m$ на не пробитом конденсаторе.

Правильно ли я понимаю, что в момент пробоя конденсатора энергия, запасенная в нем, превращается в тепло (электромагнитную волну и т.д.) и полная оставшаяся энергия в контуре это: $W = \frac{Cu(t)^2}{2}$ + $\frac{Li(t)^2}{2}$, где: $u(t) , i(t) $ - напряжение и ток соответственно на $C$ и $L$ в момент пробоя? Которые являясь гармоническими функциями: $u(t) = \frac{U_m}{2} \cos (\omega \cdot \Delta t) $ , $i(t) = \frac{1}{L} \int\limits_{0}^{\Delta t} u_L(t)dt = \frac{U_m}{\omega L} \sin (\omega \cdot \Delta t) $, т.к. до пробоя амплитуда напряжения на каждом конденсаторе $U_m(C_1) = U_m(C_2) = \frac{U_m}{2}$, а напряжение на катушке: $ u_L(t) = 2u_C(t) $. В момент пробоя одного из конденсаторов, напряжение на другом скачком не изменится и останется как есть, а на катушке не изменится скачком ток, поэтому полная энергия в контуре: $W = W_{C}(t) + W_{L}(t) = \frac{C (\frac{U_m \cos \omega \Delta t}{2})^2}{2} + \frac{L (\frac{U_m \sin \omega \Delta t}{\omega L})^2}{2} = \frac{CU_m^2}{8} (4 - 3 \cos^2\omega \Delta t) $. Приравняв это к $\frac{CU^2}{2}$, где $U$ искомая амплитуда на конденсаторе, найдем: $U = \frac{U_m}{2} \sqrt{4-3 \cos^2 \omega \Delta t}$, отсюда найдем амплитуду заряда на конденсаторе: $q = CU$. Но не сходится с ответом: $q = \frac{CU_m}{2} \sqrt{2- \cos^2 \omega \Delta t}$. Проверьте пжлста, где я не прав?

[amon]

Stensen в сообщении #1134248 писал(а):

В момент пробоя одного из конденсаторов, напряжение на другом скачком не изменится и останется как есть, а на катушке не изменится скачком ток

Замените слово "конденсатор" словом "сопротивление", а слово "катушка" словом "батарейка" и поразмышляйте.

[Cos(x-pi/2)]

Stensen в сообщении #1134248 писал(а):

где я не прав?

Вы ошиблись в расчёте полной энергии в контуре, положив $\omega =1/\sqrt{LC} \, .$ Надо было учесть, что до пробоя частота колебаний определялась ёмкостью $C/2$ последовательного соединения двух ёмкостей $C$, т.е. $\omega=\sqrt{2/LC} \, .$

[Stensen]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1134286 писал(а):

Надо было учесть, что до пробоя частота колебаний определялась ёмкостью $C/2$ последовательного соединения двух ёмкостей $C$, т.е. $\omega=\sqrt{2/LC} \, .$

Гранд сенкс, все сложилось.

amon в сообщении #1134250 писал(а):

Stensen в сообщении #1134248 писал(а):

В момент пробоя одного из конденсаторов, напряжение на другом скачком не изменится и останется как есть, а на катушке не изменится скачком ток

Замените слово "конденсатор" словом "сопротивление", а слово "катушка" словом "батарейка" и поразмышляйте.

Честно говоря, не понял на какую мысль вы хотели меня навести? Подскажите еще пжлста.

[madschumacher]

(вопрос о гармонических функциях)

Stensen в сообщении #1134248 писал(а):

\Которые являясь гармоническими функциями: $u(t) = \frac{U_m}{2} \cos (\omega \cdot \Delta t) $ , $i(t) = \frac{1}{L} \int\limits_{0}^{\Delta t} u_L(t)dt = \frac{U_m}{\omega L} \sin (\omega \cdot \Delta t) $, ...

У меня уже давно периодически возникает вопрос: если гармоническая функция (по определению) -- одно из решений уравнения Лапласа, то являются ли функции вида $f \propto \sin(a \cdot t)$ и $f \propto \cos(a \cdot t)$ гармоническими?

[amon]

madschumacher в сообщении #1134312 писал(а):

на какую мысль вы хотели меня навести?

На мысль, что такие утверждения не худо обосновать. К батарейке (с ненулевым внутренним сопротивлением) подсоединены два последовательно соединенных сопротивления. Одно из них закоротили. В цепи скачком поменяется ток, напряжение на оставшемся сопротивлении и напряжение на контактах батарейки. Почему в Вашей задачке такого безобразия не происходит? Размышления на эту тему приведет к уравнению, которое лихо решается. Впрочем, "Ваш способ мне тоже нравится" (C).

[Stensen]

amon в сообщении #1134384 писал(а):

Размышления на эту тему приведет к уравнению, которое лихо решается.

Вы видимо имеете в виду уравнение: $ L\frac{di}{dt} + iR = \mathcal{E}$ (для схемы, например, последовательно подсоединенные катушка и резистор на источник напряжения), из которого видно, что при изменении тока скачком напряжение на $L$ возрастет и превысит $\mathcal{E}$ ? Для напряжения на $C$ аналогично.