Аксиома пустого множества.

[arseniiv]

epros в сообщении #1134102 писал(а):

Не понял, почему не работают? Это же, вроде, просто одно из правил вывода?

Xaositect в сообщении #1134103 писал(а):

С помощью этого правила вывода и двойственного ему $P(t) \vdash \exists x P(t)$ можно вывести теорему $\forall x P(x) \to \exists x P(x)$, которая на пустой интерпретации ложна.

Если в языке есть какие-то термы, то там должны быть и константы, чтобы термы из чего-то построить, и тогда его нельзя интерпретировать пустой областью, а такой вывод будет дозволен. Если термов нет, то и правило не к чему будет применять. Или я что-то упускаю.

sostrongcuriosity в сообщении #1134047 писал(а):

Но почему это что-нибудь должно быть пустым множеством? Или я чего-то не догоняю...

Потому что тогда добавляют аксиому $\forall x(x\notin\varnothing)$. Такая аксиома получится и в теории, полученной из «обычной» ZFC после определения в ней пустого множества (это как раз добавление константы и определяющей её аксиомы на основании того, что выводится $\exists!n(\forall x(x\notin n))$). Остальное уже написали, да и это немного дублирует.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1134117 писал(а):

Если в языке есть какие-то термы, то там должны быть и константы, чтобы термы из чего-то построить, и тогда его нельзя интерпретировать пустой областью, а такой вывод будет дозволен. Если термов нет, то и правило не к чему будет применять. Или я что-то упускаю.

Переменные - это термы.

[arseniiv]

Эх, а всё так хорошо начиналось.