Аксиома пустого множества.

[sostrongcuriosity]

В аксиоматике Цермело-Френкеля есть аксиома пустого множества - по крайней мере одно пустое множество существует. Аксиома объемности позволяет установить эквивалентность этой аксиомы и утверждения "существует и причем единственное пустое множество".
Но у Зорича в его Математическом Анализе при перечислении аксиом Цермело-Френкеля аксиома пустого множества не указана. Вместо этого там из аксиомы выделения выводится существование пустого подмножества в любом множестве. Из аксиомы объемности следует, что пустые подмножества разных множеств равны. То есть если существует хотя-бы одно множество, то существует пустое множество и оно единственно. Но существование хотя-бы одного множества не постулируется. Меня это привело в смятение.
Я начал искать, и добрался до статьи об аксиоме пустого множества в английской википедии. Там говорится, что "во многих формулировках логики первого порядка (в оригинале "first-order predicate logic", если что-то неверно, поправьте пожалуйста) существование по крайней мере одного объекта всегда гарантированно. Если аксиоматизация теории множеств формулируется с использованием такой логической системы впридачу с аксиомой выделения, и если теория не различает элементы и множества (что для аксиоматики Цермело-Френкеля верно), то существование пустого множества это следствие".
Объясните пожалуйста почему гарантируется существование по крайней мере одного объекта.
Да сразу скажу, я не совсем понимаю, что такое логика первого порядка.

[arseniiv]

sostrongcuriosity в сообщении #1133994 писал(а):

Но существование хотя-бы одного множества не постулируется. Меня это привело в смятение.

А аксиома бесконечности? Зорич упоминает её (я забыл или даже тот кусок не читал, к сожалению)? Она всё равно в ZF(C) нужна.

[sostrongcuriosity]

Есть такая. Она утверждает, что индуктивное множество существует. Но индуктивное множество определяется как множество содержащее пустое множество в качестве своего элемента, а так последователь любого элемента входящего в индуктивное множество.

-- 26.06.2016, 03:12 --

Да и в тех источниках, что мне попадались помимо Зорича, аксиома бесконечности вводилась с использованием знака пустого множества.

[arseniiv]

sostrongcuriosity в сообщении #1133997 писал(а):

Но индуктивное множество определяется как множество содержащее пустое множество в качестве своего элемента, а так последователь любого элемента входящего в индуктивное множество.

Это на словах разницы может быть не видно, но аксиома бесконечности может формулироваться без использования константы для пустого множества (в самом деле, ему обычно неоткуда взяться в исходной ZFC, в которой мы ещё ничего не определяли — хотя иногда эту константу вводят в язык теории множеств, но тогда и вашей проблемы нет, потому что интерпретация такого языка обязана сопоставить этой константе хоть что-нибудь): $\exists z(\forall n(\forall x(x\notin n)\to n\in z)\wedge\ldots)$. Главное, что хоть одно какое-то множество аксиома бесконечности нам предоставляет, и из него аксиомой выделения мы получим пустое множество, как вы писали выше.

[sostrongcuriosity]

arseniiv в сообщении #1134000 писал(а):

иногда эту константу вводят в язык теории множеств, но тогда и вашей проблемы нет, потому что интерпретация такого языка обязана сопоставить этой константе хоть что-нибудь.

Но почему это что-нибудь должно быть пустым множеством? Или я чего-то не догоняю...

-- 26.06.2016, 16:06 --

arseniiv в сообщении #1134000 писал(а):

$\exists z(\forall n(\forall x(x\notin n)\to n\in z)\wedge\ldots)$

Извините, что сие означает?

[epros]

Как тут что-то можно не понять?

sostrongcuriosity в сообщении #1134047 писал(а):

arseniiv в сообщении #1134000 писал(а):

иногда эту константу вводят в язык теории множеств, но тогда и вашей проблемы нет, потому что интерпретация такого языка обязана сопоставить этой константе хоть что-нибудь.

Но почему это что-нибудь должно быть пустым множеством? Или я чего-то не догоняю...

Если в язык теории вводят символ константы $\varnothing$ (который обозначает "пустое множество"), то обычно определяют его значение аксиомой:

$\forall z \, (z=\varnothing \to \forall x \, (x \notin z))$

Вот в силу этой аксиомы и должно.

sostrongcuriosity в сообщении #1134047 писал(а):

arseniiv в сообщении #1134000 писал(а):

$\exists z(\forall n(\forall x(x\notin n)\to n\in z)\wedge\ldots)$

Извините, что сие означает?

Это означает: "Существует множество, содержащее пустое множество и ..."

[Someone]

sostrongcuriosity в сообщении #1134047 писал(а):

Извините, что сие означает?

А что означает $\forall x(x\notin n)$ (или, не используя сокращений, $\forall x(\neg(x\in n))$)?

[sostrongcuriosity]

epros в сообщении #1134060 писал(а):

Если в язык теории вводят символ константы $\varnothing$ (который обозначает "пустое множество"), то обычно определяют его значение аксиомой:

$\forall z \, (z=\varnothing \to \forall x \, (x \notin z))$

Вот в силу этой аксиомы и должно.

Но почему оно вообще должно существовать?

[epros]

sostrongcuriosity в сообщении #1134080 писал(а):

Но почему оно вообще должно существовать?

Из аксиомы $\exists z(\forall n(\forall x(x\notin n)\to n\in z)\wedge\ldots)$ - непосредственно не должно. Но из неё следует, что существует хоть какое-то $z$. Аксиомой выделения выделяем из этого $z$ пустое множество, убеждаясь таким образом в его существовании.

-- Вс июн 26, 2016 17:02:49 --

А из аксиомы $\forall z \, (z=\varnothing \to \forall x \, (x \notin z))$ вообще ничего не должно. Однако наличие символа константы в языке теории само по себе означает существование и единственность объекта, соответствующего данному символу.

[sostrongcuriosity]

Хорошо. Я вас понял.
Но мне не совсем понятно то, что я прочитал в википедии.

Цитата:

Там говорится, что "во многих формулировках логики первого порядка (в оригинале "first-order predicate logic", если что-то неверно, поправьте пожалуйста) существование по крайней мере одного объекта всегда гарантированно. Если аксиоматизация теории множеств формулируется с использованием такой логической системы впридачу с аксиомой выделения, и если теория не различает элементы и множества (что для аксиоматики Цермело-Френкеля верно), то существование пустого множества это следствие".

-- 26.06.2016, 20:18 --

Если что вот эта статья.

[epros]

Мне тоже непонятно о каких именно "многих формулировках" логики первого-порядка идёт речь. Насколько я понимаю, классическая логика первого порядка - это более или менее определённая вещь (разве что есть расхождения в мнениях относительно того, нужно ли включать в неё равенство или оно должно определяться прикладной теорией). И я не вижу причин, запрещающих интерпретировать её пустым множеством.

[sostrongcuriosity]

epros в сообщении #1134090 писал(а):

Мне тоже непонятно о каких именно "многих формулировках" логики первого-порядка идёт речь.

Я мог не так перевести.

[Xaositect]

epros в сообщении #1134090 писал(а):

Мне тоже непонятно о каких именно "многих формулировках" логики первого-порядка идёт речь. Насколько я понимаю, классическая логика первого порядка - это более или менее определённая вещь (разве что есть расхождения в мнениях относительно того, нужно ли включать в неё равенство или оно должно определяться прикладной теорией). И я не вижу причин, запрещающих интерпретировать её пустым множеством.

По-моему, в большинстве изложений как раз пустые области интерпретации не рассматриваются и используются выводы типа $\forall x P(x) \vdash P(t)$, которые на пустом домене не работают.

[epros]

Xaositect в сообщении #1134095 писал(а):

выводы типа $\forall x P(x) \vdash P(t)$ ... на пустом домене не работают

Не понял, почему не работают? Это же, вроде, просто одно из правил вывода?

Вообще-то, конечно, в интерпретации на пустом домене смысла мало, но мне непонятно, каким образом это само по себе может "гарантировать существование хотя бы одного объекта"?

[Xaositect]

epros в сообщении #1134102 писал(а):

Не понял, почему не работают? Это же, вроде, просто одно из правил вывода?

С помощью этого правила вывода и двойственного ему $P(t) \vdash \exists x P(t)$ можно вывести теорему $\forall x P(x) \to \exists x P(x)$, которая на пустой интерпретации ложна.