Непонятная функция

[INGELRII]

Решая один забавный дифур (но речь пока не о нем), вызвал к жизни одну не менее забавную функцию:

$\exp\{-\frac{1}{x}\} \int_{x_0}^x {\frac{\exp\{\frac{1}{t}\}}{t} dt}$

Даже правильно набрать ее в ТЕХе было нелегко, а изучить еще труднее. Вместо $x_0$ можно взять любое положительное число, скажем, единицу. В нуле функция принимает нулевое же значение. Но вот производную вычислить уже не сумел. Мейпл при попытке построить график возле нуля опять же делает непонятно откуда взявшийся скачок. То есть там творится нечто жуткое.

Так как вычислить производную в нуле? И кстати, имею ли я право взять в интеграле $x_0=0$ на основании того, что хоть интеграл и будет расходящимся, но множитель-экспонента его все равно зануляет (сам думаю, что нет, но мало ли)?

То, что в нуле функция может быть доопределена нулем, следует из Лопиталя. $\exp\{-\frac{1}{x}\}$ можно переделать в знаменатель в виде $\exp\{\frac{1}{x}\}$, получим вверху расходящийся интеграл, внизу стремящуюся к бесконечности экспоненту. Дифференцировать их вблизи нуля можно, препятствий не вижу. Ну так дифференцируем, получаем после упрощений попросту $-x$. Понятно куда оно стремится.

Что же касается производной данной функции (кстати, обозначим ее уже $f(x)$). Она удовлетворяет уравнению $f‘(x)=\frac{f(x)+x}{x^2}$. Собственно, это и есть тот забавный дифур, о котором шла речь. И если предположить, что функция в нуле вообще имеет производную, то ею может быть только $-1$. В самом деле, числитель и знаменатель оба стремятся к нулю, и оба дифференцируемы. Опять же лопиталим их, и выходит дробь вида $\lim_{x \to 0}{\frac{f‘(x)+1}{2x}}$. И вспомнив, что мы предположили наличие у функции производной в нуле, понимаем, что если $f‘(0) \neq -1$, то числитель не стремится к нулю, а знаменатель стремится, что нашему предположению существования данного предела противоречит.

Но это мы нашли значение производной в предположении, что оно таки есть. А этого нам никто не обещал. Предположим, что производная стремится к $-\infty$, и внезапно тоже не обнаружим противоречий. Вот тут и закавыка.

[Lia]

Уточните предмет обсуждения, пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше. Остальное Вы знаете.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Red_Herring]

Интегрируя по частям $\int \frac{1}{t}e^{\frac{1}{t}}\,dt = -\int t\, d e^{\frac{1}{t}}$ и т.д. можете получить полное асимптотическое разложение по степеням $t$ в 0

[Sinoid]

(Оффтоп)

INGELRII в сообщении #1133939 писал(а):

Даже правильно набрать ее в ТЕХе было нелегко

Более правильно набрать, ИМХО, эту формулу так: $\exp\left(-\frac{1}{x}\right){\displaystyle \intop_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\left(\frac{1}{t}\right)}{t}dt}$. Вообще, для сложных формул программа LyX бывает ну очень пользительной

[INGELRII]

Red_Herring
И в результате получится $-\sum_{n=0}^{\infty} {n! x^{n+1}}$. Сюрпрайз! Собственно, дифур именно с таким расчетом и был придуман, чтобы данный "ряд" ему удовлетворял. Очень сильно хотелось посмотреть, как же она выглядит, сумма расходящегося всюду ряда.

[Otta]

Эм. Ну уж или сумма - или расходящегося.

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #1133961 писал(а):

полное асимптотическое разложение

Разумеется Ваш ряд в обычном смысле не суммируется и потому является только формальным решением--или асимптотическим разложением обычного гладкого, но не аналитического решения.

[amon]

А еще
$\exp\left(-\frac{1}{x}\right){\displaystyle \intop_{x_{0}}^{x}\frac{\exp\left(\frac{1}{t}\right)}{t}dt}=\exp\left(-\frac{1}{x}\right)\left(\operatorname{Ei}\left(\frac{1}{x_0}\right)-\operatorname{Ei}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$

[DeBill]

INGELRII в сообщении #1133939 писал(а):

имею ли я право взять в интеграле $x_0=0$ на основании того, что хоть интеграл и будет расходящимся, но множитель-экспонента его все равно зануляет

Не имеете, т.к. он таки сначала разойдется, а уж потом... Потом уже - не будет никаких потом. Но

INGELRII в сообщении #1133939 писал(а):

но мало ли)?

- можно, если $x<0$ (и тогда отрицательное $x_0$ - можно заменить на 0.
Придуманный Вами дифур имеет имя: это уравнение Эйлера.
Функция $f(x)$ - ужасна: в нуле у нее нехороший разрыв. Никакое интегрирование не сдюжит с разрывом подинтегральной функции в нуле - так что на Вашу ф-ю надо смотреть как на две функции - на левой полуоси, и на правой, никак (почти) - не связанные. Однако, много лучше смотреть на нее с комплексной точки зрения. Тогда:
1. Заменяем $x_0$ на 0, интегрируем по кривой, соединяющей точку $x$ с нулем (и входящей в 0 слева).
2. Указанный Вами расходящийся ряд будет для полученной функции асимптотическим (при $x\to 0$) в любом секторе с вершиной в нуле, не содержащем положительной полуоси. В частности, (доопределив Вашу функцию нулем в нуле) в нуле есть производные всех порядков (но только - слева!) - как у Вашего ряда.
3. Ряд - как в Вашем примере - есть ряд Жевре-1 (т.е., порядка 1). О таких рядах - и их суммировании с помощью преобразований Бореля-Лапласа - можно почитать в книжке Рамис "Расходящиеся ряды"

-- 25.06.2016, 22:37 --

4. Функция будет многозначной: в точке 0 - ветвление. Замечательно то, что (в точках правой полуоси) эти две ветви различаются чрезвычайно мало : на $2 \pi i \cdot \exp (-\frac{1}{x})$ - а это плоская функция (у неё все производные в нуле - правые - равны 0) .
5. Для рядов Жевре-1 есть как результаты о суммируемости - в секторах указанного вида, так и о единственности (в секторах раствора , большего $\pi$)
6/ Еще на Вашу ф-ю можно посмотреть как на образец resurgent function - но это уже совсем зыбодробительная теория.

[DeBill]

Тут мне умные люди грят: нехорошо про нехороший разрыв говорить. Поправляюсь: нехороший - с точки зрения комплексного анализа. А так то, как и написал Red_Herring, функция - гладенькая. И выбор $x_0$ - другого (на правой полуоси) - на ейную гладкость не влияет никак.

Собственно, уравнение Эйлера - это система $\dot{x} =x^2, \dot{y}=x+y$. У нее есть решение $x=0$ - касающееся собственного вектора, отвечающего собственному значению 1 (сепаратриса). А вот аналитического решения (центрального многообразия), соответствующего нулевому собственному значению - нет (зато есть куча гладких - и все они даются этой самой $y=f(x)$ для разных $x_0$. Именно на этом примере и была обнаружена поганость центрального мн-я.