Интеграл из Демидовича

[SomePupil]

Задачка 1648. $\int{\!\sqrt{1-\sin{2x}}\,dx},\; 0 \le x \le \pi$.

Я заметил, что $(\cos x-\sin x)^2 = 1-\sin 2x$, откуда: $\pm(\cos x-\sin x) = \sqrt{1-\sin{2x}}$. Так как подынтегральное выражение всегда положительно, то:
При $0 \le x \le \pi/4$: $\cos x-\sin x = \sqrt{1-\sin{2x}}$.
При $\pi/4 \le x \le \pi$: $\sin x-\cos x = \sqrt{1-\sin{2x}}$.

Из этого я сделал вывод, что получается кусочно-заданная функция:

$$ \int{\!\sqrt{1-\sin{2x}}\,dx}=\begin{cases} \sin x + \cos x + C,&\text{если $0 \le x \le \pi/4$;}\\ -\sin x - \cos x + C + 2\sqrt 2,&\text{если $\pi/4 \le x \le \pi$.} \end{cases} $$

Дополнительное слагаемое $2\sqrt 2$ появилось из-за непрерывности первообразной в точке $x=\pi/4$ (такое у меня впервые).

Каково же было моё удивление, когда в конце задачника я обнаружил совсем другой ответ:

$$2\sqrt2\left[\frac t\pi\right]+\sqrt 2 sgn(t)\cdot\left\{\cos\frac t\pi - \cos t\right\}, \text{где}\;t=x-\pi/4.$$

В чём косяк?

[Otta]

А как Вы убедились, что он другой?

-- 25.06.2016, 18:05 --

Только в скобках после сигнума первый косинус кривой какой-то, вроде неоткуда там такому быть. Вы не опечатались?

[SomePupil]

У меня $13$-е издание... Проверил $-$ я не опечатался.

Вбил эту функцию в программку-рисовалку $-$ график получился линейный.

Кажется, опечатка в самом задачнике.

(Оффтоп)

(Эйлер говорил, что опечатки делают мат. книгу живой и интересной. Демидович $-$ вполне себе живой и интересный задачник).

-- 25.06.2016, 17:29 --

Сходства всё-таки есть: $\pi/4 -$ "пограничная" точка. Целая часть слева в этой точке обнуляется, $t$ меняет знак. Вот только с дробной частью определённо вышла опечатка.

[Otta]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1133932 писал(а):

Демидович $-$ вполне себе живой и интересный задачник

Да. Но в первоначальном виде он был гораздо привлекательнее. Без опечаток.

SomePupil в сообщении #1133932 писал(а):

Вбил эту функцию в программку-рисовалку $-$ график получился линейный.

Линейный он никак не будет.

Если стараться записать в этом виде, то вроде должно получаться

$$2\sqrt2\left[\frac t\pi\right]-\sqrt 2 \operatorname{sgn}(t)\cdot\cos t, \text{где}\;t=x-\pi/4.$$

Проверьте, пожалуйста, я не очень тщательно проверяла, может, что-то упустила.
Но мне лично Ваша первоначальная запись больше нравится, я бы так и оставила.

[SomePupil]

Otta Точнее, так (добавил $+2\sqrt 2$):

$$2\sqrt{2}+2\sqrt2\left[\frac t\pi\right]-\sqrt 2 \operatorname{sgn}(t)\cdot\cos t, \text{где}\;t=x-\pi/4.$$

Как родное подошло.

Спасибо за участие!

[Otta]

SomePupil в сообщении #1133937 писал(а):

Otta Точнее, так (добавил $+2\sqrt 2$):

Это излишество. У Вас там плюс константа.

[SomePupil]

Otta, а ну, да. (Я тут нарисовал своё решение синим (при $C = 0$), Вашу функцию $-$ красным , и графики получились ровно со сдвигом $2\sqrt 2$. Дальше $-$ порыв, подсознание сработало).

Ретируюсь.