Решить уравнение с функциональным рядом.

[dima_1985]

Решить уравнение

$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k(x+8)^k}{(x+9)^{k+1}}=89 $$

1)Нашел радиус сходимости ряда (По признаку Даламбера)

$$ r=\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1} $$

.Радиус сходимости равен $r=1$
2) Нашел интервал сходимости $x\in (-9;7) $
Не могу понять что дальше делать и как найти $x$? Помогите пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Каждая формула должна 1) начинаться со знака доллара, 2) заканчиваться им, 3) не содержать долларов в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 24.06.2016, 22:14 --

dima_1985 в сообщении #1133806 писал(а):

что дальше делать

Сумму ряда найти попробуйте.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

Попробуйте подстановками и прочими действиями как-то упростить выражение.

[dima_1985]

Lia , сумма ряда нам известна она равняется 89.Нужно найти при каких $x$ это значение достигается.Может я не прав?
Пробовал упростить выражение

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}k(\frac{p}{p+1})^k=89(p+1)$$

.Где $p=x+8$.Что дальше пока не знаю

[Cash]

dima_1985 в сообщении #1133806 писал(а):

2) Нашел интервал сходимости $x\in (-9;7) $

Неужели? Подставьте $x=10$ или $x=-8.8$

dima_1985 в сообщении #1133806 писал(а):

Радиус сходимости равен $r=1$

Да ладно. Что такое радиус сходимости? Как он соотносится с

dima_1985 в сообщении #1133806 писал(а):

интервал сходимости $x\in (-9;7) $

.
И самое интересное - к любому ли ряду применимо это определение?

[Lia]

dima_1985 в сообщении #1133888 писал(а):

Lia , сумма ряда нам известна она равняется 89

Найдите сумму ряда при любых $x$, при которых он вообще сходится. Именно это имелось в виду.

dima_1985 в сообщении #1133888 писал(а):

$p=x+8$.

плохая замена. Придумайте лучше. Чтобы сочетание "радиус сходимости" в принципе имело смысл по отношению к ряду. Оно не для всех рядов определяется.
(Вообще говоря, он Вам и не нужен, но об этом можно поговорить потом. А сейчас это лишь полезная зацепка: все дружно ждут от Вас замену, которая приведет ряд к тому виду, у которых все-таки определены радиусы сходимости.)

Сорри за частичный повтор.

[dima_1985]

Вынесем за знак суммы $\frac{x+8}{(x+9)^2}$ (как написал Someone).Тогда получим что сумма ряда равняется $\frac{x+8}{(x+9)^2}\frac{1}{(1-\alpha)^2}$.Где $\alpha=\frac{x+8}{x+9}$.После подстановки получим $\frac{x+8}{(x+9)^2}(x+9)^2=89$.Получим что $x=81$.Всем большое спасибо за помощь!!

[Someone]

dima_1985 в сообщении #1133888 писал(а):

$p=x+8$

Lia в сообщении #1133890 писал(а):

плохая замена.

dima_1985 в сообщении #1133976 писал(а):

Замену наверно нужно сделать $x+9=p$?

Что в лоб, что по лбу.

Вынесите $\frac{x+8}{(x+9)^2}$ за знак суммы и временно забудьте об этом множителе. Когда сумму оставшегося ряда вычислите, тогда про эту дробь вспомните.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

dima_1985 в сообщении #1133976 писал(а):

Не смог найти информацию по поводу того, что радиус сходимости не для всех рядов определяется.Я предполагал что

$$\lim\limits_{n=\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$$

. Если предел стремиться к 0 то ряд сходиться $(\infty;-\infty)$.Если стремиться к бесконечности то ряд сходиться в 0.Для каких рядов радиус сходимости не определяется ??

Всё пока. Едем в Карантин за передышкой, чтобы было время учебник открыть. По возникновении содержательных поправок и попыток решения - пожалуйста,

сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Upd

Возвращено.