Поморите составить мат.модель

[ddn]

peregoudov писал(а):

ddn писал(а):

Непонятно, откуда у вас взялся множитель $r$?

Извините, я не отследил и сразу не написал. У Вас неправильно записано уравнение непрерывности. Дивергенция в цилиндрических координатах имеет вид

$$ \frac1r\frac\partial{\partial r}(r v_r)+\frac{\partial v_z}{\partial z} $$

(плюс угловой член, но у нас осесимметричный случай).

Думаю, что неправильно именно у Вас - ваше выражение характерно для лапласиана (2-е производные), а не для дивергенции.

Zai писал(а):

ddn писал(а):

...видимо поверхность испарения действительно может быть любой и определяется течением на бесконечности.

Как Ваше решение отражает наличие силы тяжести?

Это мой недочет. Я совсем забыл про давление. Ведь для него тоже есть граничное условие! Так что произвол в форме поверхности и поведении на бесконечности сильно сужается (не знаю насколько).
Понял, на каком основании давление жидкости на поверхности можно принять постоянным $p(r,z_0(r))=p_0$, даже вблизи области испарения - если кроме паров жидкости над жидкостью имеется атмосфера, давление которой много больше (интенсивность испарения достаточно мала). Вообще, температура кипения жидкости определяется давлением и приналичии одних лишь паров жидкости, она менялась бы от точки к точке поверхности - неизотермическая задача. Можно также учесть силу поверхностного натяжения, которая создает перепад давления при переходе из жидкости в атмосферу - это меняет граничное условие для давления.
Освобожусь - напишу уравнения.

[peregoudov]

ddn писал(а):

Думаю, что неправильно именно у Вас

Думать тут особенно не над чем, просто берете восьмой том Ландау-Лифшица и списываете (там в конце есть приложение про криволинейные координаты).

Вторая цитата вообще не моя, а Zai'я.

[Alexej]

Прошу прощения за off-top
Подскажите, пожалуйста, задачники по темам:
Векторные операторы (div, grad)
Потоки жидкосте, истечение
Желательно такие, по которым можно было бы более менее разабраться с вышеперечисоленными темами.

И ещё, ddn положил значения компонет вектора скорости:

$v_r=-C_0\frac{r}{\sqrt{x^2+z^2}^3}$, ...

поясните пожалуйста ваш выбор этого вида для функций.

[peregoudov]

У меня пока вот что получается. Если течение потенциально, ${\bf v}=\nabla\phi$, то уравнение непрерывности приводит к уравнению Лапласа для потенциала $\Delta\phi=0$, а уравнение Эйлера интегрируется $\frac12(\nabla\phi)^2+p/\rho+gz=\textrm{const}$ (не вдоль линий тока, а во всем объеме!).

Самое главное --- граничные условия. Пусть граница описывается функцией $z_0(r)$. По условию задана нормальная компонента скорости на границе: нулевая вне лазерного пятна и соответствующая определенному потоку внутри

$$ (\nabla\phi)_n=-\frac{z_0'}{\sqrt{1+z_0^{\prime2}}} \frac{\partial\phi}{\partial r}+ \frac1{\sqrt{1+z_0^{\prime2}}} \frac{\partial\phi}{\partial z}= \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle \frac1{\sqrt{1+z_0^{\prime2}}},&r<R,\\ \noalign{\vskip5pt} 0,&r>R. \end{array}\right. $$

Но штука в том, что сама форма границы неизвестна. Для ее определения служит проинтегрированное уравнение Эйлера с $p=\textrm{const}$ (а можно задать разные давления внутри в вне лазерного луча, типа насыщенные пары добавляются )

$\frac12(\nabla\phi)^2+gz_0=\textrm{const}.$

Теперь надо как-то разумно выбрать неизвестные (значения потенциала на границе?), выражить через них потенциал и наложить граничные условия. Получится два уравнения для двух неизвестных функций: потенциала (на границе?) и формы границы.

[peregoudov]

Вот еще несколько мыслей. Из граничных условий можно найти производную $\phi$ вдоль границы (жидкость стекается к центру, поэтому знак минус, константу я включил в $z_0$, $\sigma=0,1$ вне/внутри лазерного луча)

$$ (\nabla\phi)_l=-\sqrt{(\nabla\phi)^2-(\nabla\phi)^2_n}= -\frac{\sqrt{-2gz_0(1+z_0^{\prime2})-\sigma}}{\sqrt{1+z_0^{\prime2}}}. $$

Поэтому известно значение $\phi$ на границе

$$ \phi(r,z_0(r))=-\int\sqrt{-2gz_0(1+z_0^{\prime2})-\sigma}\,dr. $$

Теперь мы знаем и потенциал на границе и его нормальную производную. Вроде бы должно быть некое условие согласования, из которого и определится форма границы. Вот только как его ловчее написать?