Стационарное состояние уравнения теплопроводности

[TelmanStud]

Доброй времени суток.
Подскажите пожалуйста как показать, что решение уравнения теплопроводности
$u_t=\alpha^2 \Delta u+f(\mathbf{x},t)$
при $t\to\infty$ стремиться к решению стационарного уравнения
$\alpha^2 \Delta u+f(\mathbf{x},0)=0$?

[Vince Diesel]

Путаница какая-то. Даже если исправить на $\alpha^2 \Delta u+f(\mathbf{x},\infty)=0$ и предположить, что предел $f(\mathbf{x},\infty)$ существует в каком-нибудь подходящем смысле, это, вообще говоря, неверно. Например, $u=t$, $f=1$. Для стабилизации решения нужны дополнительные предположения. Или тут вообще речь о краевой задаче в ограниченной области?

[Red_Herring]

Разумеется $f=f(x) $. Необходимо и достаточно показать что при $f=0$ решение стремится к 0, и что решение стационарного уравнения существует. И то, и другое неверно без дополнительных предположений (при ограниченной области и однородном условии Неймана решение стационарной задачи существует только если $\inf f(x)\,dx=0$, и к тому же определено с точностью до константы и нестационарное решение стремится к стационарному решению такому что $\int v(x)\,dx=\int u_0(x)\,dx$ ).

Читайте учебники

[TelmanStud]

Виноват не уточнил граничные условия. Спасибо!

[svv]

Предел функции источников $f(\mathbf x, t)$ при $t\to\infty$ вполне может не существовать. Я имею в виду, что это физически правдоподобная ситуация. Представьте, что Вы поставили в микроволновую печь чашку с водой, и печь минуту работает — минуту отдыхает и т.д. Ни к чему стационарному тут система не будет стремиться. Другой пример — планета вращается вокруг оси и подставляет солнышку то одну, то другую сторону. Днём жарко, ночью холодно, и так вечно.