Композиция линейных отображений. Кострикин, Манин.

[Duelist]

1) Кострикин, Манин, стр. 23, п.5.


Вопрос: $gf$ определена только если $f$ сюръективно, но об этом ничего не говорится в тексте.



2) Стр. 31, п.7. "Матрица композиции линейных отображений".


Вопрос: С согласованностью структур линейных пространств мне всё ясно. Но не ясно со структурой колец по той же причине: Как определить умножение в $\Omega (L, L)$, (Я не знаю, как набрать тут букву, которую используют авторы, и написал с буквой $\Omega$ ) если не для всех линейных отображений из $L$ в $L$ композиция (т.е. умножение в кольце) возможна? Например, пусть $f, g \in \Omega (L, L)$, что такое $fg$, если $g$ не сюръективно?
По замыслу, как я понял, должны быть изоморфные ассоциативные алгебры с единицей. Но я пока не могу разобраться с умножением в $\Omega (L, L)$.

[svv]

Duelist в сообщении #1133028 писал(а):

$gf$ определена только если $f$ сюръективно

Нет, почему же?
Отображение $g$ определено на $M$, оно «готово» преобразовать любой элемент $m\in M$ в $g(m)\in N$. Если образом $f$ будет не всё $M$, а его подмножество (да хоть один элемент $M$, скажем, нулевой), никаких проблем это не создаст.

[Duelist]

Я понял, спасибо. Достаточно, чтобы образ был подмножеством области определения.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Duelist в сообщении #1133028 писал(а):

Я не знаю, как набрать тут букву, которую используют авторы, и написал с буквой $\Omega$

Это каллиграфическая L. Можно писать $\mathscr{L}$ или менее загогулисто, $\mathcal{L}$.

[Duelist]

(Оффтоп)

Спасибо, буду знать (в том числе, знать, что же за символы я читаю в книжке).

[Brukvalub]

Duelist в сообщении #1133028 писал(а):

Но я пока не могу разобраться с умножением в $\Omega (L, L)$.

Умножение - это композиция отображений.

[Duelist]

Brukvalub в сообщении #1133053 писал(а):

Умножение - это композиция отображений.

Ну я это и так сразу понимал. Просто из-за ошибки мышления не понимал, почему композиция удовлетворяет определению умножения в кольце. Казалось, что нужна сюръективность композиции и т.д. Но мне подсказали, я всё понял. Впрочем, спасибо и Вам за участие.