|
Евклид определил точку как «объект, не имеющий частей».
Аксиома: точка неделима.
Определение: две точки из множества точек на плоскости, внешние границы которых соприкасаются, называются соседними.
Определение: элементарный отрезок - это отрезок, состоящий из двух соседних точек из множества точек на плоскости, являющихся концами данного отрезка. Свойство: элементарный отрезок пополам не делится, так как точка не является отрезком, а точка неделима.
Определение: Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности.
Следствие: так как (по определению окружности) все точки окружности равноудалены от центра окружности, то и центр равноудалён от точек абсолютно любой, даже бесконечно малой окружности, а именно, внешняя граница центра равноудалена от точек любой окружности.
Основное свойство плоского пространства.
Теорема: если две окружности равного радиуса имеют только одну общую точку, то расстояние между центрами этих окружностей равно их диаметру.
Доказательство.
В точку касания двух окружностей из центра в каждой из двух окружностей может быть проведён радиус, и при том только один (по определению радиуса). Так как по условию окружностей две и их радиусы равны, то расстояние между их центрами равны удвоенному радиусу, то есть, диаметру.
Теорема доказана.
Свойство справедливо абсолютно для всех, в том числе и бесконечно малых окружностей.
Определение: элементарный плоский треугольник - это геометрическая фигура на множестве точек плоскости, состоящая только из трёх соседних вершин. Свойство: длины сторон элементарного треугольника равны, так как образованы равными элементарными отрезками, поэтому элементарный треугольник является равносторонним.
Следствие: угол между двумя соседними точками пространства равен 60 градусов, так как элементарный треугольник является равносторонним.
Основное свойство множества точек на плоскости: так как из любого множества соседних точек на плоскости можно выделить элементарный треугольник, то угол между любыми двумя соседними точками равен 60 градусов (по свойству элементарного треугольника).
Аксиома: множество точек на плоскости не растягиваемо и не сжимаемо, так как все точки являются соседними и соприкасаются.
Теорема: на плоском пространстве невозможно построить прямую линию.
Доказательство. По основному свойству множества точек на плоскости угол между двумя соседними точками равен 60 градусов, поэтому провести прямую линию так, чтобы более двух точек лежали на этой прямой, и были соседними одна с другой, нельзя.
Теорема доказана.
Определение: элементарная ломаная - это ломаная, образуемая последовательностью элементарных отрезков длиной в одну точку, соединяющих соседние точки пространства по кратчайшему пути.
|
