Помогите разобраться со сплайном и его кривизной

[Утундрий]

А, хорошо. Осталось определиться с управлением. Что можно сочинить самое простое для машины-точки: ускорение-торможение вдоль вектора скорости?

[rockclimber]

Ну да, что-то вроде того.

[Утундрий]

Я тут подумал, что лучше всё-таки дать тяге возможность отклоняться от вектора скорости. Иначе траектория получится скучноватой.

[rockclimber]

А, вот вы к чему клоните. Конкретного кода у меня пока нет (он в процессе написания), но я в целом в курсе того, о чем вы говорите.

[Алексей К.]

Я хочу впарить некоторым участникам обсуждения следующее соображение.
Вот есть у вас 4 (коричневые) точки. Провели вы через них некий сплайн-дорогу $\color{brown}y(x)$, по которой машины гонять собираетесь (кривую нарисовать я поленился).

$$\setlength{\unitlength}{1mm} \begin{picture}(140,40) \put(0,0){\vector(1,0){140}}\put(0,0){\vector(0,1){40}} \color{brown} \put(0,20){\circle*{1}}\put(10,30){\circle*{1}}\put(20,30){\circle*{1}}\put(30,20){\circle*{1}} \color{blue} \put(50,27){\circle*{1}}\put(64,31){\circle*{1}}\put(72,26){\circle*{1}}\put(76,12){\circle*{1}} \color{magenta} \put(100,40){\circle*{1}}\put(110,30){\circle*{1}}\put(110,20){\circle*{1}}\put(100,10){\circle*{1}} \end{picture}$$

Повернём малость эти 4 зелёные точки. Получим 4 синие точки. Слайн, $\color{blue}y(x)$, который вы проведете через них, уже не будет совпадать с так же повёрнутой предыдущей кривой. Это будет совсем другая кривая. Простейшим доказательством (или аргументом в пользу) их несовпадения служит тот факт, что при некотором повороте задача становится нерешаемой: так, функции $\color{magenta}y(x)$ для тех же точек, повёрнутых на -90 градусов, уже вовсе не имеется. А при -44 ещё имеется.

Вас это устраивает? Вас устраивает такая "теоретическая база" для задачек про машинки и дороги?
Если да, то всё ОК.

Если вдруг нет, то апелляции к формулам типа нижепроцитированной, как бы неуместны:

Dmitriy40 в сообщении #1130939 писал(а):

А для любой аналитической функции (ну за малым исключением) определён радиус кривизны в точке, $r=\dfrac{(1+y'^2)^{3/2}}{\left\lvert y''\right\rvert}$ (искажение цитаты моё --- А.К.)

(Оффтоп)

Я знаю одну тему на форуме, где для "функции (был как бы) определён радиус кривизны". Но я не встречал ничего подобного ни в одном учебнике по высшей математике.

[Утундрий]

Возьмите в виде $x(t), y(t)$ и не мучьтесь.

[rockclimber]

Алексей К. в сообщении #1132551 писал(а):

Повернём малость эти 4 зелёные точки. Получим 4 синие точки. Слайн, $\color{blue}y(x)$, который вы проведете через них, уже не будет совпадать с так же повёрнутой предыдущей кривой. Это будет совсем другая кривая. Простейшим доказательством (или аргументом в пользу) их несовпадения служит тот факт, что при некотором повороте задача становится нерешаемой: так, функции $\color{magenta}y(x)$ для тех же точек, повёрнутых на -90 градусов, уже вовсе не имеется. А при -44 ещё имеется.

Вас это устраивает? Вас устраивает такая "теоретическая база" для задачек про машинки и дороги?
Если да, то всё ОК.

Это я написал еще в стартовом посте:

rockclimber в сообщении #1130917 писал(а):

- задаю опорные точки
- массив опорных точек с координатами $(x_i, y_i)$ преобразую в два массива $(t_i, x_i)$ и $(t_i, y_i)$, где $t_0 = 0$, $t_i$ равно расстоянию от точки $i-1$ до $i$
- для каждого участка дуги рассчитываю коэффициенты функций $x(t)$ и $y(t)$

Такая теоретическая база меня, во-первых, устраивает, во вторых (из общих соображений) должна давать ту же дугу при повороте точек на любой угол (но я не проверял).