Биекция

[Stasya7]

Дано отображение $f: l_2\to l_1$, $f(x)=x$. Не пойму, биективно ли оно? Вроде и инъективно, и сюръективно. Но, в то же время, $f(l_2)$ явно шире, чем $l_1$

[mihailm]

кто-то не переходит в $l_1$

[DeBill]

Stasya7 в сообщении #1132704 писал(а):

Вроде и инъективно, и сюръективно.

Это - да...
Вот только - определено ли оно на всем $l_2$? Ну, например, куда переходит посл-ть $x=\{ x_n\}, x_n = \frac{1}{n}$ (в смысле: лежит ли она в $l_1$?

[Stasya7]

DeBill в сообщении #1132706 писал(а):

Stasya7 в сообщении #1132704 писал(а):

Вроде и инъективно, и сюръективно.

Это - да...
Вот только - определено ли оно на всем $l_2$? Ну, например, куда переходит посл-ть $x=\{ x_n\}, x_n = \frac{1}{n}$ (в смысле: лежит ли она в $l_1$?

Нет, поэтому я и говорю $f(l_2)\ne l_1$. Не все образы $l_2$ попадают в $l_1$. Но я никак не пойму, какое условие биективности здесь нарушается?

[Otta]

Stasya7 в сообщении #1132707 писал(а):

Не все образы $l_2$ попадают в $l_1$

Вы не на тот вопрос отвечаете.

DeBill в сообщении #1132706 писал(а):

Вот только - определено ли оно на всем $l_2$?

[Stasya7]

Otta в сообщении #1132708 писал(а):

Вы не на тот вопрос отвечаете.

DeBill в сообщении #1132706 писал(а):

Вот только - определено ли оно на всем $l_2$?

Нет. Опеределено на $l_1\subset l_2$

[Otta]

Вопрос остался?

[DeBill]

Stasya7 в сообщении #1132711 писал(а):

Опеределено на $l_1\subset l_2$

Во! И тогда все хорошо: тождественное отображение - это стопудовая биекция (области определения - на $l_1$)
Но проблемы некие есть: ведь нормы то разные... Так что полезно исчо задаться вопросом: ограничен ли определенный Вами оператор (с указанной Вами областью определения). Замкнут? Плотна ли его область определения?
Так что пример - весьма поучительный.

[Stasya7]

DeBill в сообщении #1132713 писал(а):

определенный Вами оператор

Это не я его определила А нашла как задачу в лекциях. Надо его на обратимость исследовать. А корректно ли тогда вообще писать $f: l_2\to l_1$ для данного отображения?

[Lia]

Корректно. Но если Вы хотите развивать тему об обратимости оператора далее, предоставьте собственные попытки решения.

PS Меня тут поправляют, что совсем уж корректно указывать действие оператора из области определения в $l_2$ в $l_1$, - с этим, конечно, не поспоришь, - однако мне попадалось и так, и так. Поэтому смотрите, как там Вас учили в лекциях.

[Stasya7]

Lia в сообщении #1132715 писал(а):

Корректно. Но если Вы хотите развивать тему об обратимости оператора далее, предоставьте собственные попытки решения.

Ну а что её развивать, если биективно, то и обратимо.
А насколько я поняла, $f: l_2\to l_1$ - это отображение, определенное на всех элементах $l_2$, образы которых лежат в $l_1$ - биективно, конечно.

[whitefox]

Stasya7 в сообщении #1132721 писал(а):

биективно, конечно

Приведите, пожалуйста, определение биекции. И ответьте: чем биекция отличается от инъекции?

[Otta]

Мне вот очень интересно (помимо этого), какую задачу на самом деле нужно решить ТС, во-первых, и какое определение обратимого оператора (если уж ими надо заниматься) было в курсе, во-вторых.

[Stasya7]

По-моему, просто смотрят на $f(l_2)\ne l_1 $, и говорят, что не выполнено условие сюръективности.

-- 19.06.2016, 20:25 --

Stasya7 в сообщении #1132843 писал(а):

По-моему, просто смотрят на $f(l_2)\ne l_1 $, и говорят, что не выполнено условие сюръективности.

Я до конца так и её поняла, биективно ли оно или нет. И никто не может чётко сформулировать ответ. И начинают тыкать в определения. Я их знаю и сама пытаюсь ответить на этот вопрос (для тех, кто начнёт писать, мол, предоставьте свои попытки решения). Я, действительно, не понимаю, представляет ли из себя биекцию отображение, образ которого шире, чем то пространство, в которое оно действует.

[Mikhail_K]

Stasya7 в сообщении #1132843 писал(а):

По-моему, просто смотрят на $f(l_2)\ne l_1 $, и говорят, что не выполнено условие сюръективности.

Вот это будет просто неверно. Если $f:\,l_2\to l_1$, $f(x)=x$, то $D(f)=l_1\subset l_2$ и $f(l_2)=f(D(f))=l_1$.

Мне кажется, что везде, где определяются понятия сюръективность-инъективность-биективность, они определяются для всюду заданного отображения $f:\,X\to Y$, $D(f)=X$. Если же $D(f)\neq X$, то про сюръективность, инъективность и биективность говорить нехорошо. Можно, максимум, сказать про сюръективность/инъективность/биективность сужения $f$ на $D(f)$.

-- 19.06.2016, 19:32 --

Stasya7 в сообщении #1132843 писал(а):

образ которого шире, чем то пространство, в которое оно действует.

Образ не может быть шире того пространства, в которое действует отображение.
В Вашем случае те точки $l_2$, которые не лежат в $l_1$, вообще никуда не отображаются; а те точки, которые лежат в $l_1$, отображаются в $l_1$. Поэтому образ получается $l_1$.

Stasya7 в сообщении #1132843 писал(а):

И никто не может чётко сформулировать ответ.

Ну нет здесь чёткого ответа. Всякие -ективности определены только для всюду определённых отображений, а Ваше не такое.

-- 19.06.2016, 19:33 --

Максимум, можно сказать, что сужение $f$ на свою область определения $D(f)=l_1$ является биективным отображением. Оно является тождественным отображением $l_1\to l_1$.