Пусть есть оператор

и

— сопряжённый ему (из

в

).
Цитата:
Теорема. Ядро сопряжённого оператора

представляет собой ортогональное дополнение образа

:

где

— ортогональное дополнение

.
Пытаюсь её доказать с чистого листа по такой стратегии: покажем, что одновременно

и

.
Пусть

. Возьмём любой

и обозначим

; ясно, что

. Составим произведение

стало быть, если

, то

ортогонален любому вектору из

, и значит,

Обратно, пусть

. Значит, для всякого

верно

иначе говоря, вектор

, который лежит, между прочим, в

, ортогонален любому вектору из

, в том числе и самому себе. Следовательно,

, что влечёт

, и

и окончательно

Товарищей форумчан я хотел бы попросить это самопальное доказательство проверить.
Спасибо.
-- 18.06.2016, 03:53 --Ещё придумал один вопрос: как быстро и просто доказывается, что если

— унитарное пространство размерности

, то

? Можно сказать, что если бы в

был ненулевой элемент, то он должен был бы быть ортогонален всем векторам из

,
в том числе и себе. Вот это утверждение курсивом у меня вызывает сомнения: откуда мы знаем, что такой вектор обязательно находится в

?