дифференциальное уравнение

[analitik777]

Здравствуйте! Не подскажете, где можно почитать про дифференциальные уравнения, у которых искомая функция и её производные зависят от разных аргументов? Например такое: $y'(x)+y(2x)=0$ или $y''(7x)+y'(2x)+y(5x)=0$. С помощью рядов можно конечно решение найти, но хотелось бы что-нибудь другое использовать.

[Sinoid]

Ну, вот, к примеру, в первом уравнении переменную, по которой ведется дифференцирование, можно заменить на $2x$.

[analitik777]

Sinoid в сообщении #1132211 писал(а):

Ну, вот, к примеру, в первом уравнении переменную, по которой ведется дифференцирование, можно заменить на $2x$.

Такое уравнение решал в вольфраме, ничего хорошего не выдал, уравнение похоже имеет решение не элементарную функцию.

[Red_Herring]

Это т.н. уравнение с отклоняющимся аргументом. Есть некая наука об этом (гуглите, я больше ничего не знаю). Причем в первом примере "опережающим", что совсем плохо. Допустим мы ищем решение на $(0,\infty)$, причём никаких условий на поведение в $0$ или $\infty$ нет. И пусть $y=\phi(x)$ (почти) произвольно задана на отрезке $[1,2]$. Тогда мы можем определить ее на отрезке $[1/2,1]$ интегрированием и учитывая что $y(x)$ д.б. непрерывна в $1$; потом мы определяем на $[1/4,1/2]$ и т.д.
Разберите, что будет при $\phi(x)=1$.

В другую сторону (на $[2,4]$, $[4,8] $ и т.д.) хуже: надо дифференцировать. Но если предположить, что $\phi(x)$ бесконечно гладкая и имеет в $1$ ноль бесконечного порядка то все хорошо.

Если будете решать с помощью ряда Тейлора в $0$ то легко убедитесь, что $y=0$ единственное аналитическое решение (т.к. коэффициенты очень быстро растут) .

анекдот с бородой писал(а):

Месье понимает толк в извращениях!

[analitik777]

Red_Herring в сообщении #1132227 писал(а):

Это т.н. уравнение с отклоняющимся аргументом. Есть некая наука об этом (гуглите, я больше ничего не знаю). Причем в первом примере "опережающим", что совсем плохо. Допустим мы ищем решение на $(0,\infty)$, причём никаких условий на поведение в $0$ или $\infty$ нет. И пусть $y=\phi(x)$ (почти) произвольно задана на отрезке $[1,2]$. Тогда мы можем определить ее на отрезке $[1/2,1]$ интегрированием и учитывая что $y(x)$ д.б. непрерывна в $1$; потом мы определяем на $[1/4,1/2]$ и т.д.
Разберите, что будет при $\phi(x)=1$.

В другую сторону (на $[2,4]$, $[4,8] $ и т.д.) хуже: надо дифференцировать. Но если предположить, что $\phi(x)$ бесконечно гладкая и имеет в $1$ ноль бесконечного порядка то все хорошо.

Если будете решать с помощью ряда Тейлора в $0$ то легко убедитесь, что $y=0$ единственное аналитическое решение (т.к. коэффициенты очень быстро растут) .

анекдот с бородой писал(а):

Месье понимает толк в извращениях!

Спасибо, буду смотреть)

[dsge]

del

[DeBill]

analitik777
Заменой переменной $x=e^t$ можно свести к уравнению, в котором аргументы сдвигаются на константы.
По таким ур- м должно быть достаточно много литературы. Начальные условия для таких ур-й (в случае запаздывающего аргумента - у функции) принято задавать не в точке, а на целом интервале. При этом разные школы по разному трактуют все это (исходя из того, что они умеют делать. Пермяки, например, не требуют непрерывности решения в крайней точке, на которой задаются начальные условия - и их методы дают много чё.) Вопчем, должно быть уже много что нарыто...
Но я - не спец - так, краем уха кой-чего видел.