Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Пожалуйста, помогите понять как считать сочетания в этой задаче из Виленкина "Комбинаторика", M., 1969 г.
Подходил к ней уже несколько раз.
Дана очередь в кассу из

человек. У

человек в руке рубль, у

50 коп. Билет стоит 50 коп. У кассира изначально денег нет.
Сколькими способами можно переставить очередь так, чтобы она не застревала?
Люди в очереди не уникальны. Очередь застревает, если у кассира не оказывается сдачи.

Как предлагает решать автор (изложено моими словами):
Обозначим за

обладателя рубля, а за

обладателя 50 коп. Тогда любую расстановку

человек можно записать ввиде строки из

и

. Полагаем, что очередь начинается слева и оканчивается справа.
Далее переберём все "запрещённые" перестановки, в которых очередь застревает.
Каждая запрещённая перестановка характерна тем, что количество

и

слева одинаково и огорожено от остальной части строки "отравленной"

-ей (на ней очередь встаёт, т.к. у кассира не хватает сдачи). Например

- запрещённая, с "отравленной"

-ей на пятой позиции.
Чтобы их сосчитать, построим вспомогательное множество по такому правилу:
- для каждой запрещённой перестановки добавим
в начало строки - инвертируем от нового начала строки до "отравленной"
-цы включительно
При этом получится строка, в которой количество

и

будет гарантированно одинаково вплоть до определённой позиции.
Правило работает в обе стороны:
- каждую запрещённую перестановку отображает во вспомогательное множество
- каждый элемент вспомогательного множества отображает на уникальную запрещённую перестановку
Первое верно из свойства запрещённых перестановок и из правила отображения.
Второе верно из-за того, каждая строка вспомогательного множества гарантированно имеет одинаковое количество

и

слева.
Как тогда посчитать количество элементов вспомогательного множества?
Первый знак для всех них будет одинаковый и его можно исключить из рассмотрения.
Не понимаю, почему автор утверждает, что это будет
