Определение аксиомы теории множеств.

[wendeses]

Доброго времени суток всем.
Уже целый день мучаюсь с одним упражнением из Зорича.
Собственно, предлагается определить аксиому по записи.

$\exists x (\forall y (\neg\exists z (z \in y) \to y \in x) \wedge $\forall w (w \in x \to \forall u(\forall v (v \in u \leftrightarrow (v = w \vee v \in w)) \to u \in x)))$

Я понимаю так :

$\exists x (\forall y (\neg\exists z (z \in y) \to y \in x))$ - ни в одном множестве $y$ не существует элемента $z$, такого что из этого существования следовало, что $y\in x$, т.е $x$ не содержит одноэлементных множеств.

$\forall w (w \in x \to \forall u(\forall v (v \in u \leftrightarrow (v = w \vee v \in w)) \to u \in x))$ - c этим вообще беда.

Хотелось бы разобраться, что к чему и что эта за аксиома.

[arseniiv]

Вообще, берём список (схем) аксиом ZFC и сравниваем по очереди. Это приходит в голову сразу же. Притом видно, что это не схема, так что схемы можно сразу отмести.

wendeses в сообщении #1131856 писал(а):

$\exists x (\forall y (\neg\exists z (z \in y) \to y \in x))$ - ни в одном множестве $y$ не существует элемента $z$, такого что из этого существования следовало, что $y\in x$, т.е $x$ не содержит одноэлементных множеств.

Забыли, что это всунуто в $\exists x$. Ну и без этого интерпретация не очень. Давайте по подформулам:
$\neg\exists z(z\in y)$ — не существует $z$ такого, что $z\in y$. Т. е. в $y$ нет элементов. (Т. е. это пустое множество.)
Так же начинайте с самых маленьких подформул и постепенно рассматривайте большие, каждый раз приводя их к самому короткому эквивалентному утверждению, которое можете придумать. Иначе действительно глаза разбегутся. Посмотрите в любом случае на все аксиомы ZFC и на то, как формулируется, например, аксиома пары. Или сами сформулируйте формулы, эквивалентные $x = u\cup v$, $x = \{u\}$, но не содержащие $\cup$ и $\{\ldots\}$. Поможет.

(Смотрите сюда, если совсем плохо. Но сначала всё-таки попытайтесь, потому что толку от ответа без приводящего к нему пути немного)

Это аксиома бесконечности: существует такое $x$, что $\varnothing\in x$, и что если $a\in x$, то $a\cup\{a\}\in x$.

[wendeses]

Спасибо, добрый человек. А на math.wiki я уже смотрел список аксиом zfc, только там эта аксиома несколько в другом виде записана. Из-за того что неправильно интерпретировал первую часть всю пошло плохо.

[arseniiv]

Да, у некоторых аксиом есть вариации, даже иногда на первый взгляд отличающиеся по силе. Если бы мы формулировали эту аксиому в контексте не чистой ZFC-без-неё, в языке которой есть только $\in$, а в её консервативном расширении, получающемся, когда мы
• показываем с помощью аксиомы экстенсиональности, что множество, существующее по аксиоме пустого множества, единственно, и вводим константу $\varnothing$ и определение $\neg\exists x\in\varnothing$;
• аналогично с помощью аксиомы пары определяем бинарный функц. символ $\{,\}$;
• аналогично с помощью аксиомы объединения вводим унарный функц. символ $\bigcup$;
• теперь вводим определения $u\cup v=\bigcup\{u,v\}$ и $\{u\} = \{u,u\}$;
то можно было бы сформулировать аксиому бесконечности более человечно:

$$\exists x(\varnothing\in x\wedge\forall w(w\in x\to w\cup\{w\}\in x)),$$