Двумерная функция плотности

[MestnyBomzh]

Двумерная случайная величина распределена равномерно в области:

Надо найти одномерные функции плотности.
Нашел двумерную функцию плотности:

$$f_{\xi \eta} (x,y)=\begin{cases} \frac{2}{3},&\text{если $(\xi, \eta) \in D$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}$$

Далее ищу по формуле одномерные функции плотности:

$$f_{\xi} (x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f_{\xi \eta} (xy) dy =\int\limits_{0}^{x+1}\frac{2}{3}dy + \int \limits_{0}^{1} \frac{2}{3}dy = \frac{2x+4}{3} $$

Где-то здесь ошибка, потому что интеграл от последней функции не равен единице (условие нормировки):

$$\int\limits_{-1}^{1}\frac{2x+4}{3}dx \neq 1$$

. Помогите, пожалуйста, найти ошибку

[Aritaborian]

MestnyBomzh в сообщении #1131494 писал(а):

Нашел двумерную функцию плотности

Как именно вы её нашли? Распишите.

[MestnyBomzh]

Aritaborian
Я взял формулу:

$$f_{\xi} (x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f_{\xi \eta} (xy) dy$$

После берем интеграл. На промежутках $y \in (-\infty;-1]$ и $y \in [1;+\infty)$ интеграл равен нулю. На промежутке $x \in [-1;0]$ игрек меняется в пределах от $[0;x+1]$. Аналогично для оставшегося промежутка $y \in [0;1]$. Я нигде не использовал интервалы изменения икса, это меня настораживает. Возможно, функция плотности должна выглядеть как-то так:

$$\begin{cases} \int \limits_{0}^{x+1}\frac{2}{3}dy,&\text{если $x \in [-1;0]$;}\\ \int \limits_{0}^{1}\frac{2}{3}dy,&\text{если $x \in [0;1]$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}$$

[Aritaborian]

MestnyBomzh в сообщении #1131504 писал(а):

Я нигде не использовал интервалы изменения икса, это меня настораживает.

Вот-вот.

Lock, Stock and Two Smoking Barrels писал(а):

Вилли, ты ушел шесть часов назад, чтобы купить счётчик купюр, а вернулся с обдолбанной Глорией и мешком удобрений. Это меня настораживает, Вилли.

Что мы можем сделать, чтобы учесть также и ось $Ox$?

[MestnyBomzh]

А вот это неверно?

$$\begin{cases} \int \limits_{0}^{x+1}\frac{2}{3}dy,&\text{если $x \in [-1;0]$;}\\ \int \limits_{0}^{1}\frac{2}{3}dy,&\text{если $x \in [0;1]$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases}$$

[Otta]

Верно. Правда, принято писать, что это.

[--mS--]

Простите, что вмешиваюсь. Зачем интегрировать совместную плотность, если обе плотности с точностью до постоянного множителя и так нарисованы?

[Otta]

(Оффтоп)

Ну захотелось человеку. Как отказать )