Правомерность использования интегрирующего множителя

[GevorgyanH1]

На одном из математических ресурсов наткнулся на достаточно простой шаблон решения линейных ДУ, который представлен как "Метод с использованием интегрирующего множителя". Опишу сам способ.
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

$$y'+p(x)y=q(x),$$

то интегрирующий множитель определяется формулой:

$$u\left( x \right) = \exp \left( {\int {p\left( x \right)dx} } \right).$$

Тогда общее решение ДУ выражается в виде:

$$y = \frac{{\int {u\left( x \right)q\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}}.$$

Шаблона именно в таком виде я нигде не встречал (в классических пособиях по диффурам такого нет). Насколько мне известно, интегрирующий множитель применяется при решении ДУ в полных дифференциалах.

Однако это мельком схоже с классическим шаблоном-результатом метода Лагранжа ВПП, где сначала находится общее решение линейного однородного уравнения ($y= C \exp \left( {\int {p\left( x \right)dx} } \right)$) и после незамысловатых операций общее решение НДУ получается

$$y=\left(\int q\left(x\right)e^{-\int p\left(x\right)dx}dx+C\right)e^{\int p\left(x\right)dx}$$

.Вопрос у меня такой: если данный "метод с использованием интегрирующего множителя" корректен (ответы везде сходятся), я хотел бы как можно подробнее узнать о нем.
Спасибо.

[VanD]

Уравнение $y' + p(x)y = q(x)$ сводим к $dy + (p(x)y - q(x))dx = 0$.

Эта штука и правда интегрирующий множитель:
$u(x)dy + u(x)(p(x)y - q(x))dx = dF$, где, например,
$F(x, y) = u(x)\cdot y - \int {\bigl(u(x)\cdot q(x)\bigr) dx}$.

Отсюда и вид решения. Наверно, он не очень популярен для линейных уравнений из-за того, что его не обобщишь особо на уравнения старших порядков, в отличие от стандартного подхода.

[Someone]

GevorgyanH1 в сообщении #1131459 писал(а):

Насколько мне известно, интегрирующий множитель применяется при решении ДУ в полных дифференциалах.

Насколько мне известно, как раз при решении дифференциальных уравнений в полных дифференциалах этот метод не применяется за ненадобностью. Применяется он для решения других дифференциальных уравнений. И как раз для того, чтобы из заданного уравнения сделать уравнение в полных дифференциалах.

GevorgyanH1 в сообщении #1131459 писал(а):

Шаблона именно в таком виде я нигде не встречал (в классических пособиях по диффурам такого нет).

Нет ввиду ненадобности: линейное дифференциальное уравнение и без него легко решается разными способами.

GevorgyanH1 в сообщении #1131459 писал(а):

если данный "метод с использованием интегрирующего множителя" корректен (ответы везде сходятся), я хотел бы как можно подробнее узнать о нем.

Ну, берёте учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям и изучаете.

Н. М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. "Высшая школа", Москва, 1967.
В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. "Государственное издательство физико-математической литературы", Москва, 1958.