Обобщенные функции

[Dauletfromast1996]

Есть одна задача, которую давно не могу решить. Она заключается в следующем:
К чему сходиться $< F_{k},\varphi> = v.p.\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}sinkxdx$ при $k\rightarrow \infty$?
Я её вот так пытался решить http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=49136 , но переход не мог объяснить.
Пытался через лемму Коши-Римана, тоже не получилось. Потому что интеграл абс. не сходиться. Теперь я не знаю уже как делать.
Подскажите.

[Red_Herring]

Ясно, что можно взять интеграл по отрезку $[-1,1].$ Можно разложить функцию по формуле Тейлора $\phi(x)=\phi (0) + x\phi'(0)+ x^2\psi(x)$ с непрерывной $\psi$. Что получится, если заменить $\phi$ первым, вторым и третьим членом соответственно? Кстати, совсем не надо брать интеграл в смысле главного значения здесь (нужно, если не вычитать $\phi(0)$).

[Dauletfromast1996]

$<F_{k},\varphi> = v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^{2}}sinkxdx=v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi(0)+{\varphi(0)}'x+\frac{{\varphi(0)}''x^2}{2}-\varphi(0)}{x^{2}}sinkxdx={\varphi(0)}'v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sinkx}{x}dx+\frac{{\varphi(0)}''}{2}v.p.\int_{-\infty}^{\infty}sinkxdx={\varphi(0)}'v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sinkx}{x}dx={\varphi(0)}'\pi$
Так правильно?

[Red_Herring]

Интегрируя по частям легко показать что интеграл по дополнению стремится к 0.

И не дуплицируйте темы!

[Lia]

Dauletfromast1996
Замечание за дублирование тем. Дубль закрыт.