Вопрос по коммутируемости матриц

[g______d]

ewert в сообщении #1130158 писал(а):

А с чем коммутирует жорданова клетка?

Я сказал не особо подумавши, извините. По-видимому, всё, что коммутирует с жордановой клеткой, таки является полиномами от неё, так что мне придётся ещё потребовать диагонализуемости.

Вообще, с жордановой клеткой коммутируют верхнетреугольные матрицы, у которых любая диагональ, параллельная главной, состоит из одинаковых чисел.

[ewert]

Вот они-то и суть ровно полиномы от жордановой клетки.

Рискну высказать гипотезу (ибо ответа не знаю, а додумывать лень): из коммутирования не следует многочленность тогда и только тогда, когда у исходной матрицы для хотя бы одного из собственных чисел есть хотя бы две жордановых клетки одинакового размера.

[ewert]

Это была гипотеза, а теперь факт:

g______d в сообщении #1129751 писал(а):

Такое возникает всегда (на самом деле, тогда и только тогда), когда у $A$ есть вырожденные собственные значения.

-- и впрямь верно, если имеется в виду "геометрическая вырожденность". Т.е. существование неполиномиальных коммутирующих матриц равносильно тому, что у исходной матрицы есть хотя бы одно неодномерное собственное подпространство.