Комбинаторика.

[PWT]

Здравствуйте. Есть вопрос по задаче.

В аудитории $129$ студентов. Среди них $\frac{7}{12}$ готовы, а остальные халявщики. Вызывают трех студентов. Какова вероятность того, что все вызванные готовы?

Количество готовых студентов $\dfrac{7\cdot 129}{12}=\dfrac{43\cdot 7}{4}=M$ нецелое число, что странно. Но это, видимо, не должно мешать решить задачу

У меня есть предположение, что это должно быть $\dfrac{M}{129}\cdot\dfrac{M-1}{128}\cdot \dfrac{M-2}{127}$.

Верно ли это?

[svv]

Нет, это превращает задачу в некорректную.
Но, чтобы преподаватель не подумал, что Вы с радостью использовали это как повод не решать задачу, решите задачу в общем виде: $n$ студентов, из них $m$ готовы, вызывают $k$ студентов.

(Оффтоп)

Был советский мультик «В стране невыученных уроков», где школьник-двоечник Витя Перестукин получил в задаче ответ «$1\frac 1 2$ землекопа», а потом ему встретились эти полтора землекопа и говорят: это из-за Перестукина мы такие.


Нам такого не нужно.

[PWT]

svv в сообщении #1130821 писал(а):

Нет, это превращает задачу в некорректную.
Но, чтобы преподаватель не подумал, что Вы с радостью использовали это как повод не решать задачу, решите задачу в общем виде: $n$ студентов, из них $m$ готовы, вызывают $k$ студентов.

(Оффтоп)

Был советский мультик «В стране невыученных уроков», где школьник-двоечник Витя Перестукин получил в задаче ответ «$1\frac 1 2$ землекопа», а потом ему встретились эти полтора землекопа и говорят: это из-за Перестукина мы такие.


Нам такого не нужно.

Думаю, что должно быть так тогда: $\dfrac{m}{n}\cdot \dfrac{m-1}{n-1}\cdot ...\cdot \dfrac{m-k+1}{n-k+1}=\dfrac{m!(n-k+1)!}{n!(m-k+1)!}$

Или другой вариант $\dfrac{C_m^k\cdot C_{n-m}^{n-k}}{C_n^k}$

Что-то из этого правильно?

[svv]

Вот это правильно:

PWT в сообщении #1130837 писал(а):

$\dfrac{m}{n}\cdot \dfrac{m-1}{n-1}\cdot ...\cdot \dfrac{m-k+1}{n-k+1}$

А дальше ошиблись:

$$m(m-1)\ldots(m-k+1)=\dfrac{m(m-1)\ldots(m-k+1)\;\cdot\;(m-k)(m-k-1)\ldots 2\cdot 1}{(m-k)(m-k-1)\ldots 2\cdot 1}=\dfrac{m!}{(m-k)!}$$

В другом варианте выбросьте множитель $C_{n-m}^{n-k}$. Получится правильная формула:

$$\text{вероятность} =\dfrac{\text{число способов выбрать $k$ студентов из числа готовых}} {\text{число способов выбрать $k$ студентов из общего числа}}$$

[PWT]

Большое спасибо, разобрался!