Количество решений

[Diom]

Имеются всевозможные комбинации i_1, \pm i_2 ,\pm i_3 , \pm i_4 где каждое из i является целым числом из диапазона [-N N]
Необходимо посчитать количество комбинаций удовлетворяющих следующему требованию:
i_1 + i_2 + i_3 + i_4 =0.

Немогу даже сообразить с какой стороны к такой задаче подойти. Может у кого будут идеи?

[Gordmit]

А в каком виде Вы хотите получить ответ?
Такой, например, устроит?

$$k(N)=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\sin^4(2N+1)x}{\sin^4 x}\,dx$$

Вообще, задача очень похожа на задачу о "счастливых билетах", а точнее даже не просто похожа, а она и есть: в случае $N$-ичной системы счисления и билетов, номера которых состоят из четырех цифр. По этой задаче есть неплохая подборка статей на сайте http://www.ega-math.narod.ru (см. соответствующий раздел), советую посмотреть.

[Diom]

Дело в том, что я как раз и пытался взять этот интеграл и пришел к поставленной задаче

[Gordmit]

К сожалению, у меня сейчас нет интернета, чтобы еще раз заглянуть в подборку статей про счастливые билеты, но насколько я помню, точную явную формулу через $N$ вряд ли удастся получить. Разве что асимптотику сосчитать при $N\to\infty$...

[Diom]

Асимптотика увы не интересна. Может есть мысли как подобный интеграл взять?

[maxal]

http://integrals.com/ с этим интегралом справляется, причем даже с неопределенным. Только вот ответ выражается через гипергеометрические функции, но зато все явно

[Gafield]

Как вариант, можно вычислить интеграл для нескольких первых значений $N$ и посмотреть, что по этому поводу говорит Sloane's integer sequence encyclopedia. Если последовательность известная, там будет замкнутые формулы (если известны), связь с другими последовательностями и ссылки на работы по теме. Бывает, что и на недавние.

[Piff]

интеграл можно и от -PI до PI брать, и он будет похож на коэффициент Фурье!

[maxal]

Gafield писал(а):

Как вариант, можно вычислить интеграл для нескольких первых значений $N$ и посмотреть, что по этому поводу говорит Sloane's integer sequence encyclopedia. Если последовательность известная, там будет замкнутые формулы (если известны), связь с другими последовательностями и ссылки на работы по теме. Бывает, что и на недавние.

Да, это хороший совет. Вот эта последовательность: A063496
Причем с простой полиномиальной формулой, что, впрочем, предсказуемо, так как сама последовательность удовлетворяет линейному рекуррентному уравнению.

[Батороев]

Числа $i$, по-видимому, можно представить в виде остатков чисел (цифр, выраженных в десятичной системе) по основанию $N$.
Тогда количество сумм $ i_1 + i_2 + i_3 + i_4 = 0 $ может отражать количество неких четырехзначных чисел в $ (N +1)$-чной системе, которые кратны $N$.

Например, при $N = 9$
делимость числа $6831_{10}$ на $9$ можно рассматривать, как обычно:
$ 6 + 8 + 3 + 1 = 18 $
$18\equiv 0 \pmod{9} $,
а можно и по остаткам по основанию $9$:
$ (-3) + (-1) + 3 + 1 = 0 $.

Если $i$ может принимать нулевое значение и сказанное мною справедливо, то полное кол-во сумм $ i_1 + i_2 + i_3 + i_4 = 0 $, по-видимому, должно быть $ \frac {N(N+1)^3 + N(N+1)^2 + N(N+1) + N}{N} = 1111_{(N+1)} =$
$ (N+1)^3 + (N+1)^2 + (N+1) + 1 $.

Хотя, для каждого числа, кратного $N$, еще необходимо считать комбинации, например:
для $6831_{10} $ может быть и такая: $ 6+8+(-6)+(-8) = 0$

[Azog]

я думаю что эту задачу правильней решать методм блужданий