Две случайные величины

[MestnyBomzh]

Дана плотность СВ $\xi$": $f_{\xi}(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$. Вторая СВ: $\eta = \arctg^2 \xi$. Найти плотность НСВ $\eta$.
Сначала я нашел функцию распределения: $F_{\xi}(x)=\frac{\arctg x}{\pi}+\frac{1}{2}$.
Далее:

$F_{\eta}(x) = P(\eta < x) = P(\arctg^2 \xi < x) = P(-\sqrt x < \arctg \xi < \sqrt x)= P(\tg(-\sqrt x) < \xi < \tg \sqrt x) = F_{\xi}(\tg \sqrt x) - F_{\xi} (- \tg \sqrt x)$

Где-то здесь ошибка, потому что получившаяся функция распределения не стремится к единице при $x \to +\infty$. Скорее всего, ошибка когда я убираю арктангенс, но как его убрать, чтобы эквивалентность сохранилась?

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #1130447 писал(а):

Где-то здесь ошибка,

Как минимум одна. Вы не следите за параметрами и областями определения (значения) функций.
Ну например, чему равна Ваша вероятность при $x=9$?

[MestnyBomzh]

Otta
Должна быть единица, разумеется. Тогда вообще имеет смысл решать при $x \in [0;\frac{\pi^2}{4}]$, а иначе вероятность 1. Тогда получаем, что $F_{\eta}(x)=\frac{2\sqrt x}{\pi}$, если $x \in [0;\frac{\pi^2}{4}]$ и единица иначе

[Otta]

Смысл-то есть решать при всех $x$, другое дело, что при разных значениях параметра неравенство решается по-разному.

MestnyBomzh в сообщении #1130454 писал(а):

и единица иначе

...ага, и в минус единице единица...

[MestnyBomzh]

Упс, мда
При $x<0$ функция распределения равна 0, при $x \in [0;\frac{\pi^2}{4}]$ функция вероятности равна $2 \frac{\sqrt x}{\pi}$, при $x>\frac{\pi^2}{4}$ функция распределения равна 1