Составить краевую задачу II р для эллиптических уравнений

[dmitryammosov]

Здравствуйте!
Пожалуйста помогите с составлением краевой задачи II рода для эллиптических уравнений с известным точным решением. На первый взгляд задача показалась очень простой, но у меня вызвало затруднение составить граничное условие в виде производной по внешней нормали к границе $\partial u$/$\partial n$. Выбрал уравнение Пуассона $\ -\Delta u = f$, за точное решение $\ u = \exp^{x_1 + x_2}$, тогда $\ f = -2 \cdot \exp^{x_1 + x_2}$. Но возникли осложнения, так как требуется написать именно в виде производной по внешней нормали. Область - единичный квадрат. Нормалей, видимо, 2: $\ n_1 = (1; 0)$, $\ n_2 = (0;1)$. В обоих случаях $\ \partial u / \partial n = \operatorname{grad}(u) \cdot n = \exp^{x_1 + x_2}$. Решил численно с помощью пакета FEniCS, но погрешность вышла большой. Ошибка в использовании пакета маловероятна.
Может, я неправильно понимаю, как находится производная по внешней нормали? Очень был бы благодарен за помощь. Вместо квадрата можно выбрать и другую область.

[Red_Herring]

LOL! Где Вы такие обозначения нашли: либо $\exp(f)$, либо $e^f$.

Нормаль в каждой точке, исключая угловые точки, одна. Просто она разная в разных точках:на левой границе она $(1,0)$, на правой $(-1,0)$, на нижней $(0,1)$, на верхней ...

[dmitryammosov]

Да, и вправду странные обозначения ^^"
Понял, спасибо)