Переход к следу из квадрата амплитуды.

[Roxkisabsver]

Рассматриваю рассеяние $e^-e^-$ и амплитуда имеет вид: $M_{fi}=4 \pi e^2\left\lbrace (\overline{U'}(p'_2)\gamma^\mu U(p_2))(1/t)(\overline{U'}(p'_1)\gamma_\mu U(p_1))-(\overline{U'}(p'_1)\gamma^\nu U(p_2))(1/u)(\overline{U'}(p'_2)\gamma_\nu U(p_1))\right\rbrace $.

После нахождения квадрата модуля амплитуды возникает четыре слагаемых. Пока возьму в пример лишь одно из них, перекрестное:

$(\overline{U'}(p'_2)\gamma^\mu U(p_2))(\overline{U'}(p'_1)\gamma_\mu U(p_1))\cdot(\overline{U}(p_2)\gamma^{\nu +} U'(p'_1) )(\overline{U}(p_1)\gamma_{\nu}^+U'(p'_2))$.

Здесь я использовал следующее: $(\overline{U_1}\gamma^\mu U_2)^*=(\overline{U_2}\gamma^{\mu +} U_1)$.

Теперь от этого перекрестного слагаемого я должен перейти к шпуру вида: $Sp(\rho'_2 \gamma^\mu \rho_2 \gamma^\nu \rho'_1 \gamma_\mu \rho_1 \gamma_\nu)$.

Как это сделать? Знаю, что появление шпура это следствие усреднения по поляризациям (начальные электроны не поляризованы), но как именно проводить это усреднение? Так же знаю, что в этом слагаемом нужно подвести друг к другу биспиноры и их дираковски сопряженные "партнеры" : $U_1 \overline{U}_1$. Опять же вопрос: как такие перестановки осуществлять? И что делать после них?

[physicsworks]

Пескин, Шредер, Глава 5.1.

[physicsworks]

Кстати, как пройдете всю эту мутатень со следами от матриц, обязательно почитайте о более современном методе вычисления амплитуд рассеяния --- spinor helicity formalism.

[Roxkisabsver]

Не испытывал сложности в написании амплитуды. Сложности начинаются после написания её квадрата. Там уже и следы и суммы по поляризациям и перестановки всякие...

Но то, что вы посоветовали я обязательно посмотрю. Можете дать ссылки на статьи или что-то более конкретное?

[physicsworks]

Нужно воспользоваться $(\overline{u'}\gamma^{\mu}u)^* = \overline{u}\gamma^{\mu}u'$, далее усреднить по начальным и просуммировать по конечным состояниям, выписать в выражении для квадрата модуля спиновые индексы явно и переставить спиноры так, чтобы можно было воспользоваться соотношениями полноты. А дальше дело за вычислениям следов. Все это проделано у Пескина и Шредера в главе 5.1 для $e^-e^+ \to \mu^- \mu^+$.
Spinor helicity formalism --- это на будущее. В данном конкретном примере Меллеровского рассеяния выгоде в таком подходе нет почти никакой, но уже на примере $e^-e^+ \to \mu^- \mu^+$ решение помещается в одну строчку вместо страницы.

[Roxkisabsver]

physicsworks в сообщении #1129938 писал(а):

...переставить спиноры так, чтобы можно было воспользоваться соотношениями полноты.

Вот именно, как именно переставлять их?

[physicsworks]

Roxkisabsver, я же дал ссылку с самого начала. Там подробно написано КАК. Между формулами 5.3 и 5.4.

[Roxkisabsver]

physicsworks, хорошо. В моем случае я имею слагаемое : $\sum\limits_{s_1s_2}^{}\sum\limits_{s'_1s'_2}^{} \left\lbrace (\overline{U'}_a(p'_2)\gamma^\mu_{ab} U_b(p_2) \overline{U'}_c(p'_1)\gamma_{\mu,cd} U_d(p_1))\cdot(\overline{U}_c(p_2)\gamma^\nu_{ef}U'_f(p'_1)\overline{U}_g(p_1)\gamma_{\nu,gh}U'_h(p'_2)) \right\rbrace$.

Правильно я тогда понимаю, что я просто и, как сказано у Пескина, "свободно" могу выдергивать из этого выражения спиноры и переставлять их как хочу? То есть в итоге такого произвола получу следующее: $\sum\limits_{s_1s_2}^{}\sum\limits_{s'_1s'_2}^{} \left\lbrace U'_h(p'_2)\overline{U'}_a(p'_2)\gamma^\mu_{ab}U_b(p_2)\overline{U}_e(p_2)\gamma^\nu_{ef}U'_f (p'_1)\overlne(U')_c(p'_1)\gamma_{\mu,cd}U_d(p_1)\overline{U}_g(p_1)\gamma_{\nu,gh}\right\rbrace$.

То есть это действительно произвол в перестановках?

[physicsworks]

Roxkisabsver

Roxkisabsver в сообщении #1129965 писал(а):

Правильно я тогда понимаю, что я просто и, как сказано у Пескина, "свободно" могу выдергивать из этого выражения спиноры и переставлять их как хочу? То есть в итоге такого произвола получу следующее: $\sum\limits_{s_1s_2}^{}\sum\limits_{s'_1s'_2}^{} \left\lbrace U'_h(p'_2)\overline{U'}_a(p'_2)\gamma^\mu_{ab}U_b(p_2)\overline{U}_e(p_2)\gamma^\nu_{ef}U'_f (p'_1)\overlne(U')_c(p'_1)\gamma_{\mu,cd}U_d(p_1)\overline{U}_g(p_1)\gamma_{\nu,gh}\right\rbrace$.

только здесь $\overline{U'}_c(p'_1)$, а так все верно. Теперь можно использовать соотношение полноты и вспомнить, что по повторяющимся индексам производится суммирование, так что все это выражение превращается в след от матрицы.

Roxkisabsver в сообщении #1129965 писал(а):

То есть это действительно произвол в перестановках?

как только вы в матричном умножении выписали индексы явно, множители можно переставлять, если же вы их обратно опускаете, то нужно следить за порядком индексов.

[Roxkisabsver]

physicsworks
Спасибо. Вопрос закрыт.