оценка Re или Im собственные числа матрицы

[2old]

Дана матрица, $x\in [0;1]$

$$ A = \begin{pmatrix} \frac{227}{10} & 2x^2+6x+\frac{9}{2} & 0 \\ 5x^2+2x+\frac{1}{5} & 5 & 2x^2+4x+2 \\ 0 & 2x^2+4x+2 & \frac{617}{20} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{227}{10} & 2(x+\frac{3}{2})^2 & 0 \\ 5(x+\frac{1}{5})^2 & 5 & 2(x+1)^2 \\ 0 & 2(x+1)^2 & \frac{617}{20} \end{pmatrix} $$

Надо оценить, являются ли собственные числа матрицы вещественными? С помощью кругов Гершгорина, я показал что при

$$ x \in [0; \frac{1}{70}(\sqrt{5065} - 30)] \approx [0; 0.5881258] $$

собственные значения вещественные. Для больших значений пара кругов начинает пересекаться, а потом и все три.
Но я прогнал расчет для всех $x$ по сетке $0.001$ и все собственные числа оказались вещественными.
Как это можно показать?

[DeBill]

2old
Ну, можно... Но Вам не понравится...
Считаем характеристический многочлен (он - кубический), а затем - его дискриминант (он будет - восьмой степени по $x$). Потом - по Штурму - проверяем, что у него нет вещественных корней....

[Евгений Машеров]

0. А круги Гершгорина сюда? Они вроде как на комплексной плоскости... И непересекаемость никак о действительности не говорит.
1. С ходу могу сказать, что есть по крайней мере одно положительное собственное значение и ему соответствует положительный собственный вектор, по теореме Фробениуса-Перрона.
2. Если $5(x+\frac 1 5)^2=2(x+\frac 3 2)^2$, то матрица будет симметрична и все собственные значения действительны.
3. Трёхдиагональная матрица, у которой положительны все диагональные и околодиагональные элементы (выполняется) и все главные миноры (не проверял) является осцилляционной. Все её собственные числа действительны, положительны и различны.

[DeBill]

Евгений Машеров в сообщении #1129986 писал(а):

все главные миноры

При больших $x$ - не, не будут...

[2old]

Евгений Машеров
0. Теорема о кругах:

Цитата:

...
If some set of k overlapping disks is disjoint from all the other disks, then exactly k eigenvalues lie in the union of these k disks.

Соотвественно, если диск отделен от остальных, то в нем может лежать только 1 собственное значение. А комплексные всегда парами.

1. Про одно не интересно, потому что характеристический полином степени $3$, поэтому один вещественный корень всегда есть.
2. "поправляя фуржку капитана Ясненько..."(с) :)
3. Спасибо, почитаю про такие. Кажется это выполняется, т.к. $x\in [0;1]$ по условию

DeBill
Спасибо, так и сделал.